Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλή Κυριακή σε όλους.

: Γνωστή, λόγω σχέσεων.PNG (4.53 KiB) Προβλήθηκε 853 φορές

Στο σχήμα είναι $\widehat{AOB}=90^{0}$ και 3OB=2OA

. Το $E \in AB$ ώστε $3\left ( BOE \right )= 10\left ( AOE \right )$ .

Να βρεθεί η $\widehat{OEB}$ . Ευχαριστώ Γιώργος.

Δεκτές όλες οι λύσεις , ασφαλώς και οι .. ..Γεωμετρικές !

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 15, 2019 10:48 am
Καλή Κυριακή σε όλους.
Γνωστή, λόγω σχέσεων.PNG
Στο σχήμα είναι $\widehat{AOB}=90^{0}$ και . Το $E \in AB$ ώστε $3\left ( BOE \right )= 10\left ( AOE \right )$ .

Να βρεθεί η $\widehat{OEB}$ . Ευχαριστώ Γιώργος.

Δεκτές όλες οι λύσεις , ασφαλώς και οι .. ..Γεωμετρικές !

Έστω

και πως η κάθετη από το

στην

τέμνει την

στο

.
$3\left ( BOE \right )=10\left ( AOE \right )\Leftrightarrow \left ( AOE \right )=\dfrac{3}{13}\left ( ABO \right )\Leftrightarrow AE=\dfrac{3\sqrt{13}x}{13}$
Όμως
$\overset{\Delta }{ADE}\sim \overset{\Delta }{ABO}\Leftrightarrow \dfrac{AE}{AD}=\dfrac{OA}{AB}\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{3\sqrt{13}x}{13}}{AD}=\dfrac{3x}{\sqrt{13}x}\Leftrightarrow AD=x\Leftrightarrow OD=OB=2x\Leftrightarrow \angle OEB=\angle ODB=45^{\circ}$ αφού το ODEB

είναι εγγράψιμο.

: 133.PNG (14.58 KiB) Προβλήθηκε 841 φορές

#3

: Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.png (12.58 KiB) Προβλήθηκε 789 φορές

Ας είναι

το ύψος προς την υποτείνουσα.

Επειδή ο λόγος των εμβαδών ισοϋψών τριγώνων ισούται με το λόγο των βάσεων

αν $AE = 10t\,\,,t > 0$ , θα είναι $EB = 3t\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = 13t$ .

Όμως $\dfrac{{AT}}{{TB}} = \dfrac{{O{A^2}}}{{O{B^2}}} = \dfrac{4}{9} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{AT}}{{AB}} = \dfrac{4}{{13}}}\,\,\,(1)$ .

Έτσι : $AT = 4t\,\,,\,\,TE = 6t\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = OT = \sqrt {4t \cdot 9t} = 6t = TE$ και άρα $\boxed{\omega = 45^\circ }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 15, 2019 10:48 am
Καλή Κυριακή σε όλους.
Γνωστή, λόγω σχέσεων.PNG
Στο σχήμα είναι $\widehat{AOB}=90^{0}$ και . Το $E \in AB$ ώστε $3\left ( BOE \right )= 10\left ( AOE \right )$ .

Να βρεθεί η $\widehat{OEB}$ . Ευχαριστώ Γιώργος.

Δεκτές όλες οι λύσεις , ασφαλώς και οι .. ..Γεωμετρικές !

Στο σχήμα που ακολουθεί είναι, OC=2OA ,OD=3OB

άρα το τρίγωνο OCD

είναι ορθογώνιο-ισοσκελές

Με $BK \| CD \Rightarrow OB=OK \Rightarrow$ κι επειδή $OA= \dfrac{2}{3} OB \Rightarrow AK= \dfrac{1}{3} OA$

Ακόμη, $\dfrac{AE}{EB} = \dfrac{ \big(AOE\big) }{ \big(OEB\big) }= \dfrac{3}{10} \Rightarrow AE= \dfrac{3}{13}AB$

AK . AO

$= \frac{1}{3} AO^2$ και $AE. AB= \frac{3}{13} AB^2$ . Αλλά $AB^2= \frac{9}{13}OA^2$ άρα

$AE. AB= AK . AO \Rightarrow KEBO$ εγγράψιμο $\Rightarrow \angle OEB= \angle OKB=45^0$

: Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.png (7.23 KiB) Προβλήθηκε 738 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλό βράδυ. Ευχαριστώ τους Πρόδρομο,Νίκο και Μιχάλη για τις υπέροχες λύσεις τους!
Μια ακόμη με την μεσολάβηση παλαιότερου θέματος.

: Γωνία γνωστή...PNG (4.7 KiB) Προβλήθηκε 704 φορές

Φέρω $EF \perp OB$ , το FINO

είναι τετράγωνο και οι NI,AB

τέμνονται στο

.

Όπως γράφηκε είναι BE=10 AB/13

άρα

.

Ακόμη ON=OF=3OB/13=2OA/13

,

και

.

Προκύπτει NP=EF

οπότε σύμφωνα με το Κριτήριο 45άρας είναι $\widehat{OEB}=45^{0}$ . Φιλικά Γιώργος.

cool geometry · #6

ας δούμε μία άλλη λύση...
$OB=x, OA=\frac{3}{2}x\Rightarrow (AOB)=\frac{3}{4}x^{2}=(BOE)+\frac{3}{10}(BOE)=\frac{13}{10}(BOE)\Rightarrow (BOE)=\frac{15}{26}x^{2}$ , όμως
$(BOE)=\frac{15}{26}x^{2}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot BE\cdot \cos \angle OBE=\frac{1}{2}\cdot x\cdot BE\cdot \frac{3\sqrt{13}}{13}\Rightarrow BE=\frac{5\sqrt{13}}{13}x\Rightarrow OE^{2}=x^{2}+\frac{25}{13}x^{2}-2\cdot x\cdot \frac{5\sqrt{13}}{13}x\cdot \frac{2\sqrt{13}}{13}=\frac{18}{13}x^{2}\Rightarrow OE=\frac{3\sqrt{26}}{13}x\Rightarrow \frac{\frac{3\sqrt{26}}{13}x}{\frac{3\sqrt{13}}{13}}=\frac{x}{\cos \angle OEB}\Rightarrow \cos \angle OEB=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \angle OEB=45^{0}.$

Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.

Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.

Re: Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.

Re: Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.

Re: Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.

Re: Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.

Re: Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.

Μέλη σε σύνδεση