Τετράγωνο Γωνίες Εμβαδά

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6617
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Τετράγωνο Γωνίες Εμβαδά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Σεπ 11, 2019 1:40 am

τετράγωνο ,γωνίες, εμβαδά.png
τετράγωνο ,γωνίες, εμβαδά.png (17.16 KiB) Προβλήθηκε 220 φορές
Έστω τετράγωνο ABCD και σημεία S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T των BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD αντίστοιχα , ώστε :

SC = 8\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CT = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {TAD} = 2\widehat {BAS} .

Οι AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT τέμνουν δη διαγώνιο BD στα K,L.

Δείξετε ότι: (ALD) = (KLTS)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8218
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετράγωνο Γωνίες Εμβαδά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 11, 2019 9:54 am

Doloros έγραψε:
Τετ Σεπ 11, 2019 1:40 am
τετράγωνο ,γωνίες, εμβαδά.png

Έστω τετράγωνο ABCD και σημεία S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T των BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD αντίστοιχα , ώστε :

SC = 8\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CT = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {TAD} = 2\widehat {BAS} .

Οι AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT τέμνουν δη διαγώνιο BD στα K,L.

Δείξετε ότι: (ALD) = (KLTS)
Καλή σχολική χρονιά!
Τετράγωνο, γωνίες, εμβαδά.png
Τετράγωνο, γωνίες, εμβαδά.png (13.33 KiB) Προβλήθηκε 194 φορές
\displaystyle \tan 2\theta  = \frac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} \Leftrightarrow \dfrac{{a - 3}}{a} = \dfrac{{\dfrac{{2(a - 8)}}{a}}}{{1 - \dfrac{{{{(a - 8)}^2}}}{{{a^2}}}}} \Leftrightarrow {a^3} - 16{a^2} + 56a - 96 = 0 \Leftrightarrow

\displaystyle (a - 12)({a^2} - 4a + 8) = 0 \Leftrightarrow \boxed{a=12} Άρα, DT=9, SB=4. Με Π. Θ βρίσκω AT=15,

AS=4\sqrt{10} και με θεώρημα διχοτόμων στα τρίγωνα ADT, ABS: \displaystyle AL = \frac{{60}}{7},AK = 3\sqrt {10}

\displaystyle (ALD) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{{60}}{7}\sin 2\theta  = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{{60}}{7} \cdot \frac{9}{{15}} \Leftrightarrow \boxed{(ALD)=\dfrac{216}{7}}

\displaystyle \frac{{(ALK)}}{{(ATS)}} = \frac{{AL \cdot AK}}{{AT \cdot AS}} = \frac{3}{7} \Leftrightarrow (KLTS) = \frac{4}{7}(ATS) = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 4\sqrt {10} \cos 3\theta

\displaystyle (KLTS) = \frac{{120\sqrt {10} }}{7}(4{\cos ^3}\theta  - 3\cos \theta ) = \frac{{120\sqrt {10} }}{7}\left( {\frac{{108}}{{10\sqrt {10} }} - \frac{9}{{\sqrt {10} }}} \right) = \frac{{216}}{7}


Σίγουρα θα υπάρχει ευκολότερος τρόπος.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1038
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τετράγωνο Γωνίες Εμβαδά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Σεπ 12, 2019 2:33 am

Καλή σχολική χρονιά! Παίρνω από τη λύση του Γιώργου a=12 και με χρήση του σχήματος
Τετράγωνο... Ν.Φ.PNG
Τετράγωνο... Ν.Φ.PNG (7.59 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές
Από τα όμοια DAK,BKS είναι DK=3KB άρα KE=3a/4 και \left ( DAK \right )=3a^{2}/8

Αλλά και \left ( TAS \right )=\left ( ABCD \right )-\left ( TSC \right )-\left ( DAT \right )-\left (BAS  \right )=a^{2}-a^{2}/12-3a^{2}/8-a^{2}/6=3a^{2}/8

Συνεπώς \left ( DAK \right )=\left ( TAS \right ) και με αφαίρεση του (LAK) προκύπτει το ζητούμενο. Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6617
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράγωνο Γωνίες Εμβαδά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Σεπ 12, 2019 11:47 am

Με a = 12 που βρήκε ο Γιώργος ο Βισβίκης , θα είναι BS = 4\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DT = 9.

Έτσι ( λίγο διαφορετικά από το Γιώργο το Μήτσιο )

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{DT}}{{TC}} = \frac{9}{3} = 3 \hfill \\ 
  \frac{{DK}}{{KB}} = \frac{{AD}}{{BS}} = \frac{{12}}{4} = 3 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \dfrac{{DT}}{{TC}} = \dfrac{{DK}}{{KB}} \Rightarrow TK//AD//CB.

τετράγωνο ,γωνίες, εμβαδά_Λύση.png
τετράγωνο ,γωνίες, εμβαδά_Λύση.png (30.5 KiB) Προβλήθηκε 94 φορές
Άμεσες συνέπειες: (DLT) = (ALK) = Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{E_1} = 12\,\,,\,\,{E_2} = 6\,\,,\,\,{E_3} = 18.

Αφού η διαγώνιος BD χωρίζει το τετράγωνο σε δύο ισοδύναμα μέρη θα ισχύει:

X + Z + 18 = Y + Z + 12 + 6 \Rightarrow \boxed{X = Y}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες