Υπολογισμός ακτίνας-11.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (7.88 KiB) Προβλήθηκε 484 φορές

Υπολογίστε την ακτίνα του παραπάνω ημικύκλιου.

#2

: Ακτίνα 11.png (20.51 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές

Τα τρίγωνα ADE, DCB

είναι όμοια, $\displaystyle \frac{2}{3} = \frac{6}{{DC}} \Leftrightarrow DC = 9$

Με Πυθαγόρειο στα DCE, BEC

παίρνω διαδοχικά EC^2=117

και

$\displaystyle {(2R - 2)^2} + 9 = 117 \Leftrightarrow {R^2} - 2R - 26 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{R > 0}$ $\boxed{R=1+3\sqrt 3}$

#3

Αν και η απλή , λιτή και κομψή λύση του Γιώργου δεν αφήνει πολλά περιθώρια ελιγμών.

Έστω

το άλλο σημείο τομής του ημικυκλίου με την

και

το σημείο τομής της ευθείας

με την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

.

Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα : $AEDS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BCDE$ έχω:

$\widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ αλλά $\widehat {{a_3}} + \widehat {{a_5}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {{a_2}} + \widehat {{a_4}} = 90^\circ \Rightarrow \boxed{\widehat {{a_1}} = 90^\circ }$

Εξ άλλου : $\left\{ \begin{gathered} \widehat {{a_6}} + \widehat {{a_7}} = 90^\circ \hfill \\ \widehat {{a_8}} + \widehat {{a_7}} = 90^\circ \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\widehat {{a_6}} = \widehat {{a_8}}}$

: Υπολογισμός ακτίνας 11_ok.png (42.52 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές

Η τελευταία μας εξασφαλίζει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα : $AES\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BCE$ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας : $\boxed{\lambda = \frac{2}{3}}$

Μετά απ’ αυτά : $\dfrac{{ES}}{{EC}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow DS = 4k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = 9k\,\,\,\mu \varepsilon \,\,k > 0$ επειδή δε $E{D^2} = DS \cdot DC \Rightarrow 36 = 36{k^2} \Rightarrow k = 1$

Δηλαδή $DS = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = 9\,\,$ . Επειδή $\left\{ \begin{gathered} B{C^2} = CT \cdot CD \hfill \\ A{S^2} = SD \cdot ST \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} CT = 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DT = 8 \hfill \\ A{S^2} = 4 \cdot 12 = {4^2} \cdot 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Άρα $AS = 4\sqrt 3 \Rightarrow EB = 6\sqrt 3 \Rightarrow 2 + 6\sqrt 3 = 2R \Rightarrow \boxed{R = 1 + 3\sqrt 3 }$

Υπολογισμός ακτίνας-11.

Υπολογισμός ακτίνας-11.

Re: Υπολογισμός ακτίνας-11.

Re: Υπολογισμός ακτίνας-11.

Μέλη σε σύνδεση