Υπολογισμός ακτίνας-11.

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1113
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Υπολογισμός ακτίνας-11.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Σεπ 01, 2019 5:37 pm

1.png
1.png (7.88 KiB) Προβλήθηκε 225 φορές

Υπολογίστε την ακτίνα του παραπάνω ημικύκλιου.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8317
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Υπολογισμός ακτίνας-11.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Σεπ 01, 2019 6:16 pm

Ακτίνα 11.png
Ακτίνα 11.png (20.51 KiB) Προβλήθηκε 197 φορές
Τα τρίγωνα ADE, DCB είναι όμοια, \displaystyle \frac{2}{3} = \frac{6}{{DC}} \Leftrightarrow DC = 9

Με Πυθαγόρειο στα DCE, BEC παίρνω διαδοχικά EC^2=117 και

\displaystyle {(2R - 2)^2} + 9 = 117 \Leftrightarrow {R^2} - 2R - 26 = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{R > 0} \boxed{R=1+3\sqrt 3}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6664
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Υπολογισμός ακτίνας-11.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Σεπ 03, 2019 2:07 am

Αν και η απλή , λιτή και κομψή λύση του Γιώργου δεν αφήνει πολλά περιθώρια ελιγμών.


Έστω T το άλλο σημείο τομής του ημικυκλίου με την DC και S το σημείο τομής της ευθείας CD με την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο A.

Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα : AEDS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BCDE έχω:

\widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} αλλά \widehat {{a_3}} + \widehat {{a_5}} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {{a_2}} + \widehat {{a_4}} = 90^\circ  \Rightarrow \boxed{\widehat {{a_1}} = 90^\circ }

Εξ άλλου : \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{a_6}} + \widehat {{a_7}} = 90^\circ  \hfill \\ 
  \widehat {{a_8}} + \widehat {{a_7}} = 90^\circ  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\widehat {{a_6}} = \widehat {{a_8}}}
Υπολογισμός ακτίνας 11_ok.png
Υπολογισμός ακτίνας 11_ok.png (42.52 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές
Η τελευταία μας εξασφαλίζει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα : AES\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BCE είναι όμοια με λόγο ομοιότητας : \boxed{\lambda  = \frac{2}{3}}

Μετά απ’ αυτά :\dfrac{{ES}}{{EC}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow DS = 4k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = 9k\,\,\,\mu \varepsilon \,\,k > 0 επειδή δε E{D^2} = DS \cdot DC \Rightarrow 36 = 36{k^2} \Rightarrow k = 1

Δηλαδή DS = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = 9\,\,. Επειδή \left\{ \begin{gathered} 
  B{C^2} = CT \cdot CD \hfill \\ 
  A{S^2} = SD \cdot ST \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  CT = 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DT = 8 \hfill \\ 
  A{S^2} = 4 \cdot 12 = {4^2} \cdot 3 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Άρα AS = 4\sqrt 3  \Rightarrow EB = 6\sqrt 3  \Rightarrow 2 + 6\sqrt 3  = 2R \Rightarrow \boxed{R = 1 + 3\sqrt 3 }


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες