Άθροισμα εμβαδών και πλευρά

#1

: Αθροιαμα εμβαδών_πλευρά.png (17.29 KiB) Προβλήθηκε 798 φορές

Στο τετράγωνο ABCD

θεωρώ τα σημεία Z,H

των $CD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA\,\,$ με $AZ \bot BH$

Αν

το σημείο τομής των $AZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BH\,\,$ με $SB = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SZ = b$ , να υπολογιστούν

1. ${E_1} + {E_2} = \left( {BCZ} \right) + \left( {ASH} \right)$

2. Η πλευρά του τετραγώνου

#2

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 18, 2019 4:54 pm
Αθροιαμα εμβαδών_πλευρά.png

Στο τετράγωνο θεωρώ τα σημεία των $CD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA\,\,$ με $AZ \bot BH$

Αν το σημείο τομής των $AZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BH\,\,$ με $SB = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SZ = b$ , να υπολογιστούν

1. ${E_1} + {E_2} = \left( {BCZ} \right) + \left( {ASH} \right)$

2. Η πλευρά του τετραγώνου

Για το πρώτο ερώτημα. Έστω

η πλευρά του τετραγώνου.

: Άθροισμα εμβαδών και πλευρά.png (17.82 KiB) Προβλήθηκε 753 φορές

Τα τρίγωνα ADZ, BAH

είναι ίσα. Άρα, (SAB)=(DASZ).

Έτσι, : $\boxed{{d^2} = {E_1} + {E_2} + 2(SAB) + \frac{{ab}}{2}}$ (1)

Αλλά, $\displaystyle (ABZ) = \frac{{{d^2}}}{2},$ οπότε $\boxed{{E_1} + {E_2} + (SAB) = \frac{{{d^2}}}{2}}$ (2)

Από

$\boxed{ {E_1} + {E_2} = \frac{{ab}}{2}}$

#3

Για το δεύτερο ερώτημα.

: Άθροισμα εμβαδών και πλευρά.png (17.82 KiB) Προβλήθηκε 619 φορές

$\displaystyle{{d^2} = {E_1} + {E_2} + 2(SAB) + \frac{{ab}}{2}}\Leftrightarrow$ $\displaystyle {d^2} = ab + a\sqrt {{d^2} - {a^2}} \Rightarrow {({d^2} - ab)^2} = {a^2}({d^2} - {a^2}) \Leftrightarrow$

$\displaystyle {d^4} - a(a + 2b){d^2} + {a^2}({a^2} + {b^2}) = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{d = \sqrt {\frac{a}{2}\left( {a + 2b \pm \sqrt {4ab - 3{a^2}} } \right)}}$

Σ' αυτό το σημείο είχα δεχτεί τη ρίζα με το (+)

που ταίριαζε με το σχήμα μου. Ωστόσο, δεν είχα λόγους να απορρίψω τη δεύτερη ρίζα. Έτσι, το έγραψα σε απόκρυψη, συνοδεύοντάς το με τη φράση "με κάθε επιφύλαξη". Στη συνέχεια όμως, ο Αλέξανδρος (Altrian) μου έστειλε σχήμα που έδειχνε δύο λύσεις. Οι λύσεις αυτές φαίνονται παρακάτω.

: Άθροισμα εμβαδών και πλευρά.ΙΙ.png (19.78 KiB) Προβλήθηκε 619 φορές

Η μία λύση με το (+)

αναφέρεται στο τετράγωνο ABCD

με πλευρά

και η άλλη με το (-)

στο τετράγωνο A'BC'D'

με πλευρά

Άθροισμα εμβαδών και πλευρά

Άθροισμα εμβαδών και πλευρά

Re: Άθροισμα εμβαδών και πλευρά

Re: Άθροισμα εμβαδών και πλευρά

Μέλη σε σύνδεση