Άθροισμα εμβαδών και πλευρά

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6616
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Άθροισμα εμβαδών και πλευρά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Αύγ 18, 2019 4:54 pm

Αθροιαμα εμβαδών_πλευρά.png
Αθροιαμα εμβαδών_πλευρά.png (17.29 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές
Στο τετράγωνο ABCD θεωρώ τα σημεία Z,H των CD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA\,\, με AZ \bot BH

Αν S το σημείο τομής των AZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BH\,\, με SB = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SZ = b, να υπολογιστούν

1. {E_1} + {E_2} = \left( {BCZ} \right) + \left( {ASH} \right)

2. Η πλευρά του τετραγώνου



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8216
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άθροισμα εμβαδών και πλευρά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Αύγ 18, 2019 8:32 pm

Doloros έγραψε:
Κυρ Αύγ 18, 2019 4:54 pm
Αθροιαμα εμβαδών_πλευρά.png

Στο τετράγωνο ABCD θεωρώ τα σημεία Z,H των CD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA\,\, με AZ \bot BH

Αν S το σημείο τομής των AZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BH\,\, με SB = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SZ = b, να υπολογιστούν

1. {E_1} + {E_2} = \left( {BCZ} \right) + \left( {ASH} \right)

2. Η πλευρά του τετραγώνου
Για το πρώτο ερώτημα. Έστω d η πλευρά του τετραγώνου.
Άθροισμα εμβαδών και πλευρά.png
Άθροισμα εμβαδών και πλευρά.png (17.82 KiB) Προβλήθηκε 275 φορές
Τα τρίγωνα ADZ, BAH είναι ίσα. Άρα, (SAB)=(DASZ). Έτσι, : \boxed{{d^2} = {E_1} + {E_2} + 2(SAB) + \frac{{ab}}{2}} (1)

Αλλά, \displaystyle (ABZ) = \frac{{{d^2}}}{2}, οπότε \boxed{{E_1} + {E_2} + (SAB) = \frac{{{d^2}}}{2}} (2) Από (1), (2), \boxed{ {E_1} + {E_2} = \frac{{ab}}{2}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8216
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άθροισμα εμβαδών και πλευρά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Αύγ 20, 2019 9:25 am

Για το δεύτερο ερώτημα.
Άθροισμα εμβαδών και πλευρά.png
Άθροισμα εμβαδών και πλευρά.png (17.82 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές
\displaystyle{{d^2} = {E_1} + {E_2} + 2(SAB) + \frac{{ab}}{2}}\Leftrightarrow \displaystyle {d^2} = ab + a\sqrt {{d^2} - {a^2}}  \Rightarrow {({d^2} - ab)^2} = {a^2}({d^2} - {a^2}) \Leftrightarrow

\displaystyle {d^4} - a(a + 2b){d^2} + {a^2}({a^2} + {b^2}) = 0 \Leftrightarrow \boxed{d = \sqrt {\frac{a}{2}\left( {a + 2b \pm \sqrt {4ab - 3{a^2}} } \right)}}

Σ' αυτό το σημείο είχα δεχτεί τη ρίζα με το (+) που ταίριαζε με το σχήμα μου. Ωστόσο, δεν είχα λόγους να απορρίψω τη δεύτερη ρίζα. Έτσι, το έγραψα σε απόκρυψη, συνοδεύοντάς το με τη φράση "με κάθε επιφύλαξη". Στη συνέχεια όμως, ο Αλέξανδρος (Altrian) μου έστειλε σχήμα που έδειχνε δύο λύσεις. Οι λύσεις αυτές φαίνονται παρακάτω.
Άθροισμα εμβαδών και πλευρά.ΙΙ.png
Άθροισμα εμβαδών και πλευρά.ΙΙ.png (19.78 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές
Η μία λύση με το (+) αναφέρεται στο τετράγωνο ABCD με πλευρά d και η άλλη με το (-) στο τετράγωνο A'BC'D' με πλευρά d'.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες