Γρουσούζικος λόγος

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (15.64 KiB) Προβλήθηκε 969 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

με $AB = 13,\,BC = 6$ και $\angle C = 3\angle A = 3\omega$ . Φέρουμε το ύψος

και ζητείται ο λόγος $\dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{x}{y}$

(Προαιρετικά, υπολογίστε ξεχωριστά τα )

angvl · #2

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα έχουμε:

$\displaystyle \triangle ABC : \frac{6}{\sin\omega}=\frac{13}{\sin3\omega}\Rightarrow$

$\displaystyle 13\sin\omega-6\sin3\omega=0\Rightarrow$

$\displaystyle 13\sin\omega-6(3\sin\omega-4\sin^3\omega)=0\Rightarrow ...$

$\displaystyle \sin^2\omega=\frac{5}{24} \Rightarrow \cos^2\omega=\frac{19}{24}$

$\displaystyle \triangle BDC : \cos3\omega=\frac{y}{6} \Rightarrow y=6cos3\omega=6(4\cos^3\omega-3\cos\omega)$

$\displaystyle \triangle ABD : \cos\omega=\frac{x}{13} \Rightarrow x=13\cos\omega$

Συνεπώς

$\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{13}{6}\cdot \frac{\cos\omega}{\cos\omega\cdot(4\cos^2\omega-3)} \Rightarrow...$

$\displaystyle \frac{x}{y}= 13$

Αρα

$\displaystyle x=13\sqrt{\frac{19}{24}}$

$\displaystyle y=\sqrt{\frac{19}{24}}$

#3

Κατασκευή.

Έστω τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα

και ο Απολλώνιος κύκλος για κάθε σημείο

του οποίου $\boxed{\frac{{PA}}{{PC}} = \frac{{13}}{6}}$ .

Ο κύκλος αυτός τέμνει το τμήμα

στο

. Γράφω το κύκλο (E,EC)

που τέμνει τη μεσοκάθετο του

στο

.

Η ημιευθεία

τέμνει τον Απολλώνιο κύκλο σε δύο σημεία το πρώτο εκ των οποίων έστω

.

Στο τρίγωνο ABC

( χωρίς κατ’ ανάγκη να είναι $CA = 13\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB = 6$ ) ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{13}}{6} \hfill \\ \frac{{TB}}{{TA}} = \frac{6}{7} \hfill \\ \widehat {BTC} = \widehat {BCT} = 2\widehat A = 2\widehat \omega \hfill \\ \widehat {BCA} = 3\widehat A \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Γρουσούζικος Λόγος_1.png (29.08 KiB) Προβλήθηκε 913 φορές

Υπολογισμός.

Έστω

το μέσο του $AC = AE + EC = 13k + 6k = 19k\,\,,k > 0$ . Αν

το ύψος του τριγώνου BAC

θα είναι

$MD = \dfrac{6}{7}AM = \dfrac{{3 \cdot 19k}}{7} \Rightarrow x = \dfrac{{19k}}{{14}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = DC = 19k - x = \dfrac{{13 \cdot 19k}}{{14}}$ και άρα $\boxed{\dfrac{x}{y} = 13}$ .

#4

: Γρουσούζικος Λόγος_2.png (24.86 KiB) Προβλήθηκε 875 φορές

Θ. Μενελάου στο ισοσκελές τρίγωνο TAC

με διατέμνουσα $\overline {BSD}$ .

$\boxed{\frac{{TB}}{{BA}} \cdot \frac{{AD}}{{DC}} \cdot \frac{{CS}}{{ST}} = 1 \Rightarrow \frac{6}{{13}} \cdot \frac{{AD}}{{DC}} \cdot \frac{1}{6} = 1 \Rightarrow \frac{{AD}}{{DC}} = 13}$

#5

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 03, 2019 11:19 am
Γρουσούζικος Λόγος_2.png

Θ. Μενελάου στο ισοσκελές τρίγωνο με διατέμνουσα $\overline {BSD}$ .

$\boxed{\frac{{TB}}{{BA}} \cdot \frac{{AD}}{{DC}} \cdot \frac{{CS}}{{ST}} = 1 \Rightarrow \frac{6}{{13}} \cdot \frac{{AD}}{{DC}} \cdot \frac{1}{6} = 1 \Rightarrow \frac{{AD}}{{DC}} = 13}$

Απλά και όμορφα

#6

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 02, 2019 7:10 pm
shape.pngΔίνεται τρίγωνο με $AB = 13,\,BC = 6$ και $\angle C = 3\angle A = 3\omega$ . Φέρουμε το ύψος και ζητείται ο λόγος $\dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{x}{y}$

(Προαιρετικά, υπολογίστε ξεχωριστά τα )

Καλημέρα σε όλους!

Είναι $\boxed{x = 13\cos \omega}$ και με κριτήριο καθετότητας $\displaystyle {x^2} - {y^2} = {13^2} - {6^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{(x+y)(x-y)=133}$ (1)

: Γρουσούζικος λόγος.png (13.32 KiB) Προβλήθηκε 824 φορές

Θεωρώ σημείο

της

ώστε $B\widehat CE=\omega.$ Τότε τα τρίγωνα ABC, CBE

είναι όμοια:

$\displaystyle \frac{6}{{EB}} = \frac{{13}}{6} = \frac{{x + y}}{{CE}} \Rightarrow EB = \frac{{36}}{{13}},$ οπότε $\displaystyle AE = \frac{{133}}{{13}}$ και $\displaystyle CE = \frac{{6(x + y)}}{{13}}$

Νόμος ημιτόνων στο ACE:

$\displaystyle \frac{{CE}}{{\sin \omega }} = \frac{{AE}}{{\sin 2\omega }} \Leftrightarrow \frac{{6(x + y)}}{{13}} = \frac{{133}}{{26\cos \omega }} = \frac{{133}}{{2x}} \Leftrightarrow (x + y) = \frac{{133 \cdot 13}}{{12x}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$

$\displaystyle \frac{{13(x - y)}}{{12x}} = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{x}{y}=13}$

Λύνοντας τώρα το σύστημα $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x = 13y\\ \\ {x^2} - {y^2} = 133 \end{array} \right.$ βρίσκω $\boxed{x = 13\sqrt {\frac{{19}}{{24}}} ,y = \sqrt {\frac{{19}}{{24}}} }$

Ιστοσελίδα · #7

Καλημέρα και σας ευχαριστώ για τις λύσεις σας. Ουσιαστικά η όμορφη κίνηση του Νίκου με Θαλή αντί για Μενέλαο.

: shape-sol.png (20.59 KiB) Προβλήθηκε 787 φορές

Αν η μεσοκάθετη της

τμήσει την

στο

, τότε… $\dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{{13k}}{k} = 13$

#8

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 05, 2019 8:24 am
Καλημέρα και σας ευχαριστώ για τις λύσεις σας. Ουσιαστικά η όμορφη κίνηση του Νίκου με Θαλή αντί για Μενέλαο.shape-sol.png
Αν η μεσοκάθετη της τμήσει την στο , τότε… $\dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{{13k}}{k} = 13$

Όσα ξέρει ο νοικοκύρης ...

Μιχάλης Τσουρακάκης · #9

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 02, 2019 7:10 pm
shape.pngΔίνεται τρίγωνο με $AB = 13,\,BC = 6$ και $\angle C = 3\angle A = 3\omega$ . Φέρουμε το ύψος και ζητείται ο λόγος $\dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{x}{y}$

(Προαιρετικά, υπολογίστε ξεχωριστά τα )

Με $\displaystyle M$ μέσον της $\displaystyle AB$ και $\displaystyle \angle ACE = \omega$ είναι, $\displaystyle CE//MD$ και $\displaystyle BE = BC = 6$ ,άρα $\displaystyle EM = \frac{1}{2}$

Έτσι, $\displaystyle \boxed{\frac{x}{y} = \frac{{AM}}{{ME}} = 13}$ και $\displaystyle B{D^2} = 36 - {y^2} = 169 - 169{y^2} \Rightarrow \boxed{y = \sqrt {\frac{{19}}{{24}}} } \Rightarrow \boxed{x = 13\sqrt {\frac{{19}}{{24}}} }$

: γρουσούζικος λόγος.png (20.23 KiB) Προβλήθηκε 745 φορές

Γρουσούζικος λόγος

Γρουσούζικος λόγος

Re: Γρουσούζικος λόγος

Re: Γρουσούζικος λόγος

Re: Γρουσούζικος λόγος

Re: Γρουσούζικος λόγος

Re: Γρουσούζικος λόγος

Re: Γρουσούζικος λόγος

Re: Γρουσούζικος λόγος

Re: Γρουσούζικος λόγος

Μέλη σε σύνδεση