Ζητείται λόγος-3.

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1113
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Ζητείται λόγος-3.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τετ Ιούλ 24, 2019 10:46 pm

1.png
1.png (6.33 KiB) Προβλήθηκε 243 φορές

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το λόγο \dfrac{(ABD)}{(ACD)}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 373
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ζητείται λόγος-3.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Ιούλ 24, 2019 11:18 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Τετ Ιούλ 24, 2019 10:46 pm
1.png


Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το λόγο \dfrac{(ABD)}{(ACD)}.
Καλησπέρα !

Έστω C' το συμμετρικό του C ως προς το D και η διχοτόμος AL της γωνίας \angle BAC'.

Έχουμε \angle BAL=\angle LAC'=\angle C'AD=\angle DAC

Έχουμε AC'=a άρα από θεώρημα διχοτόμων στο BAC' αν LC'=x τότε BL=3x

Με θεώρημα διχοτόμων στο BAC είναι BC'=3C'C άρα CC'=\dfrac{4}{3}x και έτσι DC=\dfrac{2}{3}x

Έχουμε \dfrac{\left ( BAD \right )}{\left ( ADC \right )}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{4x+\dfrac{2}{3}x}{\dfrac{2}{3}x}=7
99.PNG
99.PNG (15.96 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6667
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ζητείται λόγος-3.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιούλ 25, 2019 12:11 am

Κατασκευή

Έστω τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα BC. Κατασκευάζω τον Απολλώνιο κύκλο για κάθε

σημείο M του οποίου, \boxed{\frac{{MB}}{{MC}} = 3}. Αν ο κύκλος αυτός κόψει το BC στο E για κάθε

σημείο M του κύκλου στο τρίγωνο MBC η ME θα είναι διχοτόμος του .

Φέρνω λοιπόν τη μεσοκάθετο EC και τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία . Έστω A το ένα απ’ αυτά . Το τρίγωνο ABC προφανώς είναι το ζητούμενο .
Ζητείται λόγος_3.png
Ζητείται λόγος_3.png (18.21 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές
Υπολογισμός

Αν ED = DC = m τότε: \dfrac{{EB}}{{EC}} = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  EB = 6m \hfill \\ 
  BD = 7m \hfill \\ 
  DC = m \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{(ABD)}}{{(ADC)}} = \frac{{DB}}{{FC}} = 7}


Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 86
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Ζητείται λόγος-3.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Πέμ Ιούλ 25, 2019 12:20 am

Μία τριγωνομετρική.
Με γενικευμένο θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο ABC έχουμε: \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{3a\cdot \sin 3\vartheta }{a\cdot \sin} =\dfrac{3\cdot \sin( 3\vartheta ) }{\sin\vartheta }=\dfrac{3(3\sin\vartheta - 4\sin^{3}\vartheta ) }{\sin\vartheta} =9-12\sin^{2} \,\,\,(1)
Με νόμο ημιτόνων τρίγωνο ABC έχουμε

\dfrac{\sin\left ( 90-\vartheta \right )}{3a}=\dfrac{\sin\left ( 90-3\vartheta \right )}{a}\Leftrightarrow \cos\vartheta =3\cdot \cos3\vartheta\Leftrightarrow 12\cos^2\vartheta =10\cos\vartheta \Leftrightarrow \cos^2\vartheta =\dfrac{5}{6},\sin\vartheta =\,\,\,\,==\dfrac{\sqrt{6}}{6}
Aντικαθιστώντας στην (1) πέρνουμε \dfrac{\left ( ABD \right )}{\left ( ADC \right )}=\dfrac{BD}{DC}=9-12\cdot \dfrac{6}{36}=9-2=7


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης