Διαγώνιος τετραπλεύρου.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (9.67 KiB) Προβλήθηκε 807 φορές

Καλησπέρα.

Από τα υπεραρκετά στοιχεία του παραπάνω σχήματος να βρείτε το μήκος της διαγωνίου

.

#2

: Διαγώνιος τετραπλεύρου _Φανης.png (34.24 KiB) Προβλήθηκε 763 φορές

${\lambda _{12}} = R\sqrt {2 - \sqrt 3 } = 2 \Rightarrow R = \sqrt 6 + \sqrt 2$ και $BD = x = R\sqrt 2 = 2(1 + \sqrt 3 )$

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 18, 2019 9:26 pm
1.png

Καλησπέρα.

Από τα υπεραρκετά στοιχεία του παραπάνω σχήματος να βρείτε το μήκος της διαγωνίου .

$\widehat A+\widehat C=180^\circ,$ άρα το ABCD

είναι εγγράψιμο. Εστιάζω στο τρίγωνο BCD.

: Διαγώνιος.png (9.46 KiB) Προβλήθηκε 732 φορές

$\displaystyle \frac{{BD}}{{\sin 135^\circ }} = \frac{2}{{\sin 15^\circ }} \Leftrightarrow BD = \frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }} \Leftrightarrow$ $\boxed{BD=2(\sqrt 3+1)}$

angvl · #4

: 5.png (484.47 KiB) Προβλήθηκε 729 φορές

$\displaystyle BD^2 = R^2+R^2 \Rightarrow BD = R\sqrt2$

Aπο νόμο συνημιτόνων στο $\displaystyle KCD$

$4 = R^2 + R^2 -2R^2\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 4 = R^2(2-\sqrt{3})\Rightarrow R^2=4(2+\sqrt{3})$

Αρα $\displaystyle BD=2\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}=2\sqrt{4+2\sqrt{3}}=2\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=2(1+\sqrt{3})$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 18, 2019 9:26 pm
1.png

Καλησπέρα.

Από τα υπεραρκετά στοιχεία του παραπάνω σχήματος να βρείτε το μήκος της διαγωνίου .

Με $\displaystyle BE \bot DC \Rightarrow EB = EC = \frac{x}{2} \Rightarrow B{C^2} = \frac{{{x^2}}}{2}$

Με ν.συνημιτόνου στο $\displaystyle \vartriangle BCD$ έχουμε $\displaystyle {x^2} - 4\sqrt 3 x + 8 = 0$ με δεκτή λύση $\displaystyle x = 2(\sqrt 3 + 1)$

Η άλλη λύση $\displaystyle x = 2(\sqrt 3 - 1) < 2$ απορρίπτεται

: Διαγώνιος τετραπλεύρου.png (14.89 KiB) Προβλήθηκε 724 φορές

Φανης Θεοφανιδης · #6

: 1.png (16.29 KiB) Προβλήθηκε 684 φορές

Ονομάζω

το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του

με την

.

Εύκολα προκύπτει ότι PD=4

και $PC=2\sqrt{3}\Rightarrow AP=2\sqrt{3}$ .

Έστω AB=BC=a

. Οπότε $AC=a\sqrt{3}$ .

Από το θεώρημα του Πτολεμαίου στο ABCD

έχω

$AD\cdot BC+AB\cdot CD=AC\cdot BD\Rightarrow BD=2\sqrt{3}+2$ .

Διαγώνιος τετραπλεύρου.

Διαγώνιος τετραπλεύρου.

Re: Διαγώνιος τετραπλεύρου.

Re: Διαγώνιος τετραπλεύρου.

Re: Διαγώνιος τετραπλεύρου.

Re: Διαγώνιος τετραπλεύρου.

Re: Διαγώνιος τετραπλεύρου.

Μέλη σε σύνδεση