Διαγώνιος τετραπλεύρου.

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1113
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Διαγώνιος τετραπλεύρου.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Πέμ Ιούλ 18, 2019 9:26 pm

1.png
1.png (9.67 KiB) Προβλήθηκε 363 φορές

Καλησπέρα.

Από τα υπεραρκετά στοιχεία του παραπάνω σχήματος να βρείτε το μήκος της διαγωνίου BD.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6667
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διαγώνιος τετραπλεύρου.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιούλ 18, 2019 11:24 pm

Διαγώνιος τετραπλεύρου _Φανης.png
Διαγώνιος τετραπλεύρου _Φανης.png (34.24 KiB) Προβλήθηκε 319 φορές
{\lambda _{12}} = R\sqrt {2 - \sqrt 3 }  = 2 \Rightarrow R = \sqrt 6  + \sqrt 2 και BD = x = R\sqrt 2  = 2(1 + \sqrt 3 )


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8322
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διαγώνιος τετραπλεύρου.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιούλ 19, 2019 10:20 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Πέμ Ιούλ 18, 2019 9:26 pm
1.png


Καλησπέρα.

Από τα υπεραρκετά στοιχεία του παραπάνω σχήματος να βρείτε το μήκος της διαγωνίου BD.
\widehat A+\widehat C=180^\circ, άρα το ABCD είναι εγγράψιμο. Εστιάζω στο τρίγωνο BCD.
Διαγώνιος.png
Διαγώνιος.png (9.46 KiB) Προβλήθηκε 288 φορές
\displaystyle \frac{{BD}}{{\sin 135^\circ }} = \frac{2}{{\sin 15^\circ }} \Leftrightarrow BD = \frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }} \Leftrightarrow \boxed{BD=2(\sqrt 3+1)}


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Διαγώνιος τετραπλεύρου.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Παρ Ιούλ 19, 2019 10:35 am

5.png
5.png (484.47 KiB) Προβλήθηκε 285 φορές
\displaystyle BD^2 = R^2+R^2 \Rightarrow BD = R\sqrt2

Aπο νόμο συνημιτόνων στο \displaystyle KCD

 4 = R^2 + R^2 -2R^2\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 4 = R^2(2-\sqrt{3})\Rightarrow R^2=4(2+\sqrt{3})

Αρα \displaystyle BD=2\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}=2\sqrt{4+2\sqrt{3}}=2\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=2(1+\sqrt{3})


Καλό Καλοκαίρι!
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1653
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Διαγώνιος τετραπλεύρου.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Ιούλ 19, 2019 10:46 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Πέμ Ιούλ 18, 2019 9:26 pm
1.png


Καλησπέρα.

Από τα υπεραρκετά στοιχεία του παραπάνω σχήματος να βρείτε το μήκος της διαγωνίου BD.

Με \displaystyle BE \bot DC \Rightarrow EB = EC = \frac{x}{2} \Rightarrow B{C^2} = \frac{{{x^2}}}{2}

Με ν.συνημιτόνου στο \displaystyle \vartriangle BCD έχουμε \displaystyle {x^2} - 4\sqrt 3 x + 8 = 0 με δεκτή λύση \displaystyle x = 2(\sqrt 3  + 1)

Η άλλη λύση \displaystyle x = 2(\sqrt 3  - 1) < 2 απορρίπτεται
Διαγώνιος τετραπλεύρου.png
Διαγώνιος τετραπλεύρου.png (14.89 KiB) Προβλήθηκε 280 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1113
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Διαγώνιος τετραπλεύρου.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Ιούλ 19, 2019 10:13 pm

1.png
1.png (16.29 KiB) Προβλήθηκε 240 φορές

Ονομάζω P το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του AC με την AD.

Εύκολα προκύπτει ότι PD=4 και PC=2\sqrt{3}\Rightarrow AP=2\sqrt{3}.

Έστω AB=BC=a. Οπότε AC=a\sqrt{3}.

Από το θεώρημα του Πτολεμαίου στο ABCD έχω

AD\cdot BC+AB\cdot CD=AC\cdot BD\Rightarrow BD=2\sqrt{3}+2.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες