Η μια καθετότητα φέρνει την άλλη

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1260
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Η μια καθετότητα φέρνει την άλλη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Ιούλ 12, 2019 11:59 am

Χαιρετώ.
Η μια φέρνει την άλλη.PNG
Η μια φέρνει την άλλη.PNG (11.19 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC με \widehat{A}=90^{0} είναι AC=4AB , η BM διάμεσος και P \in BC ώστε PC=8BP.

Να εξεταστεί αν οι AP, BM είναι κάθετες μεταξύ τους. Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Altrian
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Η μια καθετότητα φέρνει την άλλη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Ιούλ 12, 2019 1:43 pm

Γιώργο καλησπέρα,

Φέρνουμε από το M κάθετη προς την AC που τέμνει την AP έστω στο E.

\bigtriangleup ABP\sim \bigtriangleup EPD\Rightarrow \dfrac{DE}{AB}=\dfrac{PD}{PB}=3.5\Rightarrow EM=4c

Αρα \bigtriangleup ABM\sim \bigtriangleup AME\Rightarrow \angle AMB=\angle AEM\Rightarrow AE,BM κάθετες
Συνημμένα
η μια φερνει την αλλη.png
η μια φερνει την αλλη.png (19.29 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Η μια καθετότητα φέρνει την άλλη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Παρ Ιούλ 12, 2019 2:00 pm

Γειά σας !
Θέτω AB=x , οπότε AM=MC=2x και έστω T η τομή των AP και MB.

Με θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο BMC με διατέμνουσα την \overline{ATP}
, έχω \dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{AC}{AM}\cdot \dfrac{TM}{TB}=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{8}\cdot 2\cdot \dfrac{TM}{TB}=1\Leftrightarrow \dfrac{TM}{TB}=4
Τώρα είναι \dfrac{AM^{2}}{AB^{2}}=\dfrac{4x^{2}}{x^{2}}=4=\dfrac{TM}{BT}\Leftrightarrow AP\perp BM.
τελευταία επεξεργασία από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ σε Σάβ Ιούλ 13, 2019 1:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4007
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Η μια καθετότητα φέρνει την άλλη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Ιούλ 12, 2019 3:24 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Ιούλ 12, 2019 11:59 am
Χαιρετώ.
Η μια φέρνει την άλλη.PNG
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC με \widehat{A}=90^{0} είναι AC=4AB , η BM διάμεσος και P \in BC ώστε PC=8BP.

Να εξεταστεί αν οι AP, BM είναι κάθετες μεταξύ τους. Ευχαριστώ , Γιώργος.
Αν K,L είναι οι ορθές προβολές του P στις AB,AC αντίστοιχα , τότε από PK\parallel AC\Rightarrow \dfrac{AK}{AB}=\dfrac{PC}{BC}=\dfrac{8}{9}\Rightarrow AK=\dfrac{8}{9}AB:\left( 1 \right) και από PL\parallel AB\Rightarrow \dfrac{AL}{AC}=\dfrac{PB}{BC}=\dfrac{1}{9}\Rightarrow AL=\dfrac{2}{9}AM=\dfrac{4}{9}AB:(2):

Από \left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow \dfrac{AK}{AL}=2=\dfrac{AM}{AB}\overset{Koutras\,\,Theorem}{\mathop{\Rightarrow }}\,AP\bot BM


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3273
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Η μια καθετότητα φέρνει την άλλη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Ιούλ 12, 2019 4:36 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Ιούλ 12, 2019 11:59 am
Χαιρετώ.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC με \widehat{A}=90^{0} είναι AC=4AB , η BM διάμεσος και P \in BC ώστε PC=8BP.

Να εξεταστεί αν οι AP, BM είναι κάθετες μεταξύ τους. Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλησπέρα!
shape.png
shape.png (18.12 KiB) Προβλήθηκε 478 φορές
Από το B φέρω παράλληλη στην PA, που τέμνει την CA στο D

Από Θαλή και αντίστροφο Πυθαγορείου στο  \triangleleft DBM το ζητούμενο επιβεβαιώνεται.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9357
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η μια καθετότητα φέρνει την άλλη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιούλ 12, 2019 5:34 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Ιούλ 12, 2019 11:59 am
Χαιρετώ.
Η μια φέρνει την άλλη.PNG
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC με \widehat{A}=90^{0} είναι AC=4AB , η BM διάμεσος και P \in BC ώστε PC=8BP.

Να εξεταστεί αν οι AP, BM είναι κάθετες μεταξύ τους. Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλησπέρα!

Έστω BP=x και N το μέσο του PC. Προφανώς MN||AP. Αρκεί να δείξω ότι B\widehat MN=90^\circ.
Η μία... η άλλη.png
Η μία... η άλλη.png (10.09 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές
Με Π. Θ στα τρίγωνα ABC, ABM βρίσκω \boxed{{x^2} = \frac{{17{c^2}}}{{81}}} και \boxed{B{M^2} = 5{c^2}}

Είναι ακόμα \displaystyle \cos C = \frac{{4c}}{{9x}} και με νόμο συνημιτόνων στο MNC, \boxed{M{N^2} = \frac{{20{c^2}}}{{81}}}

Τέλος, με αντίστροφο του Πυθαγορείου στο BMN προκύπτει το ζητούμενο.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1886
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Η μια καθετότητα φέρνει την άλλη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Ιούλ 12, 2019 8:05 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Ιούλ 12, 2019 11:59 am
Χαιρετώ.
Η μια φέρνει την άλλη.PNG
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC με \widehat{A}=90^{0} είναι AC=4AB , η BM διάμεσος και P \in BC ώστε PC=8BP.

Να εξεταστεί αν οι AP, BM είναι κάθετες μεταξύ τους. Ευχαριστώ , Γιώργος.
Από το Π.Θ στο ABC ,a^{2}=17c^{2},
AM^{2}+BP^{2}=4c^{2}+\dfrac{1}{81}.a^{2}=c^{2}.\dfrac{341}{81},(1),,

θεώρημα διαμέσου στο τρίγωνο APC,AP^{2}+PC^{2}=2PM^{2}+8c^{2}\Leftrightarrow 2PM^{2}=AP^{2}+\dfrac{64}{81}.a^{2}-8c^{2},(*),

Θεώρημα

Stweart ,ABC,AP^{2}=\dfrac{80}{81}.c^{2},(**), (*),(**)\Rightarrow PM^{2}=\dfrac{260}{81}.c^{2}, c^{2}+PM^{2}=\dfrac{341}{81}.c^{2},(2), (1),(2)\Rightarrow

          AB^{2}+PM^{2}=AM^{2}+BP^{2}\Rightarrow AP\perp BM



Γιάννης
Συνημμένα
Η  μια καθετότητα φέρνρει την άλλη.png
Η μια καθετότητα φέρνρει την άλλη.png (62.04 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1260
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Η μια καθετότητα φέρνει την άλλη

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Ιούλ 13, 2019 12:03 pm

Χαίρετε. Αλέξανδρε,Θεοδόση,Στάθη,Μιχάλη,Γιώργο και Γιάννη σας ευχαριστώ για τις ωραίες και ποικίλες λύσεις σας!
Ας δούμε και μια γενίκευση του θέματος.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC με \widehat{A}=90^{0} είναι tanB=x , η BM διάμεσος και P \in BC ώστε PC=yBP.

Να εκφραστεί το y , ως συνάρτηση του x ώστε να είναι AP \perp BM.

Και μια εφαρμογή : Αν είναι tanB=\dfrac{4}{3} και OP=\dfrac{5}{8} cm , όπου O το μέσον της BC

Να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου ABC .Ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος.
13-7-19 Καθετότητα.PNG
13-7-19 Καθετότητα.PNG (8.51 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές


Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Η μια καθετότητα φέρνει την άλλη

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Σάβ Ιούλ 13, 2019 12:48 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Ιούλ 13, 2019 12:03 pm
Χαίρετε. Αλέξανδρε,Θεοδόση,Στάθη,Μιχάλη,Γιώργο και Γιάννη σας ευχαριστώ για τις ωραίες και ποικίλες λύσεις σας!
Ας δούμε και μια γενίκευση του θέματος.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC με \widehat{A}=90^{0} είναι tanB=x , η BM διάμεσος και P \in BC ώστε PC=yBP.

Να εκφραστεί το y , ως συνάρτηση του x ώστε να είναι AP \perp BM.

Και μια εφαρμογή : Αν είναι tanB=\dfrac{4}{3} και OP=\dfrac{5}{8} cm , όπου O το μέσον της BC

Να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου ABC .Ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος.
13-7-19 Καθετότητα.PNG
Καλημέρα!

Με το ίδιο σκεπτικό με πριν:

Θεώρημα Μενελάου στο \overset{\Delta }{BMC} με διατέμνουσα \overline{AEP} είναι \dfrac{PC}{PB}\cdot \dfrac{EB}{EM}\cdot \dfrac{AM}{AC}=1\Leftrightarrow y\cdot \dfrac{4}{x^2}\cdot \dfrac{1}{2}=1\Leftrightarrow y=\dfrac{x^2}{2}

Για την εφαρμογή: x=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow y=\dfrac{8}{9}
Είναι BP+\dfrac{8}{9}BP=BC\Leftrightarrow BP=\dfrac{9}{17}BC, άρα OP=\dfrac{5}{8}\Leftrightarrow BP-\dfrac{BC}{2}=\dfrac{5}{8}\Leftrightarrow BC=\dfrac{85}{4}
Με πυθαγόρειο AC^2+\dfrac{9}{16}AC^2=\dfrac{85}{4}\Leftrightarrow AC=17,AB=\dfrac{51}{4}

\pi \varepsilon \rho \iota \mu \varepsilon \tau \rho o\varsigma =17+\dfrac{51}{4}+\dfrac{85}{4}=51


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες