Κριτήριο ισοπλεύρου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κριτήριο ισοπλεύρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιούλ 03, 2019 7:36 pm

Κριτήριο ισοπλεύρου.2.png
Κριτήριο ισοπλεύρου.2.png (12.04 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές
Έστω D σημείο της βάσης BC τριγώνου ABC. Ο κύκλος που διέρχεται από το A και εφάπτεται της BC στο D επανατέμνει

τις AB, AC στα F, E αντίστοιχα. Αν AD=DE+DF για κάθε θέση του D, να δείξετε ότι το ABC είναι ισόπλευρο.



Λέξεις Κλειδιά:
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 170
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Κριτήριο ισοπλεύρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Πέμ Ιούλ 04, 2019 2:55 pm

Θα δείξω αρχικά ότι κάθε ισόπλευρο τρίγωνο έχει αυτήν την ιδιότητα.

Τα τρίγωνα ABD, BFD όμοια.

Αρα \dfrac{DF}{AD}=\dfrac{BD}{AB}

Επίσης, \dfrac{DE}{AD}=\dfrac{CD}{AC}

Οπότε

\dfrac{DF}{AD}+\dfrac{DE}{AD}=1\Leftrightarrow AD=DF+DE

Θα δείξω τώρα ότι κάθε τρίγωνο με αυτήν την ιδιότητα είναι ισόπλευρο.

Εστω AD διχοτόμος

Τότε
DE=DF

και η EF κάθετη στην OD και

άρα EF//BC

Από θ. Πτολεμαίου

AF\cdot DE+AE\cdot DF=AD\cdot EF\Leftrightarrow DF(AE+AF)=2DF\cdot EF\Leftrightarrow AE+AF=2EF

Επειδή AFE,ABC όμοια έχω

AB+AC=2BC

Εστω AD ύψος.

(ABC)=(ABD)+(ACD)\Leftrightarrow AD\cdot BC=DF\cdot AB+DE\cdot AC\Leftrightarrow DE\cdot BC+DF\cdot BC=DF\cdot AB+DE\cdot AC\Leftrightarrow DE(BC-AC)=DF(AB-BC)\Leftrightarrow DE=DF

sin<BAD=\dfrac{DF}{AD}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow <BAD=30\Leftrightarrow <B=60

Ομοια <C=60 και το τρίγωνο ισόπλευρο.


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1496
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Κριτήριο ισοπλεύρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Ιούλ 04, 2019 3:10 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Ιούλ 03, 2019 7:36 pm
Κριτήριο ισοπλεύρου.2.png
Έστω D σημείο της βάσης BC τριγώνου ABC. Ο κύκλος που διέρχεται από το A και εφάπτεται της BC στο D επανατέμνει

τις AB, AC στα F, E αντίστοιχα. Αν AD=DE+DF για κάθε θέση του D, να δείξετε ότι το ABC είναι ισόπλευρο.
Γεια σου Γιώργο, γεια σου Κώστα.

Τα τρίγωνα \vartriangle BFD, \vartriangle ABD είναι όμοια, οπότε \dfrac{DF}{AD}=\dfrac{BD}{AB} \Rightarrow \dfrac{DF}{AD}=\dfrac{BD}{c} και όμοια \dfrac{DE}{AD}=\dfrac{DC}{b}.

Συνεπώς, DE+DF=AD \Rightarrow \dfrac{DE}{AD}+\dfrac{DF}{AD}=1 \Rightarrow\dfrac{BD}{c}+\dfrac{DC}{b}=1.

Αφού όμως, BD=a-DC, προκύπτει μετά τις πράξεις (c-b)DC=b(a-c), για κάθε θέση του D.

Αν c \neq b, τότε DC=\dfrac{b(a-c)}{c-b}, για κάθε θέση του D, άτοπο.

Οπότε, c=b \Rightarrow b(a-c)=0 \Rightarrow a=c, οπότε το \vartriangle ABC είναι ισόπλευρο.

Η παραπάνω απόδειξη εξασφαλίζει και την ισχύ του αντίστροφου.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες