Διαχωρισμός και λόγος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1326
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Διαχωρισμός και λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Ιουν 29, 2019 10:01 am

Χαιρετώ.
Διαχωρισμός και λόγος.PNG
Διαχωρισμός και λόγος.PNG (9.38 KiB) Προβλήθηκε 580 φορές
Το τρίγωνο ABC είναι οξυγώνιο με \widehat{B}=2\widehat{C}.

Ι) Μπορούμε να το χωρίσουμε σε τρία ισοσκελή τρίγωνα ;

Αν δοθεί \dfrac{AB}{BC}=k και BE ύψος του τότε
ΙΙ) Να υπολογιστεί , συναρτήσει του k , ο λόγος \dfrac{AE}{EC}. Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 789
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Διαχωρισμός και λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιουν 29, 2019 11:00 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Ιουν 29, 2019 10:01 am
Χαιρετώ.
Διαχωρισμός και λόγος.PNG
Το τρίγωνο ABC είναι οξυγώνιο με \widehat{B}=2\widehat{C}.

Ι) Μπορούμε να το χωρίσουμε σε τρία ισοσκελή τρίγωνα ;

Αν δοθεί \dfrac{AB}{BC}=k και BE ύψος του τότε
ΙΙ) Να υπολογιστεί , συναρτήσει του k , ο λόγος \dfrac{AE}{EC}. Ευχαριστώ , Γιώργος.
Ι)

Φέρουμε την διχοτόμο BD της \widehat{B} και πάνω σε αυτή θεωρούμε σημείο ώστε \widehat{LAB}=\widehat{ABD}. Έτσι τα BDC,ABL είναι ισοσκελή και \widehat{ALD}=2\widehat{ABD}=2\widehat{DBC}=\widehat{ADL} άρα και το ALD ισοσκελές.

ΙΙ)

\dfrac{AB}{BC}=k\Leftrightarrow AB=kBC.

Νόμος ημιτόνων στο ABC \dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{kBC}{\sin C}\Leftrightarrow AC=2\cos C\cdot kBC
Είναι EC=BC\cos C

Άρα \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AC-EC}{EC}=\dfrac{2\cos C\cdot kBC}{BC\cos C}-1=2k-1\Leftrightarrow \boxed{\dfrac{AE}{EC}=2k-1}
77.PNG
77.PNG (22.32 KiB) Προβλήθηκε 567 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9800
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διαχωρισμός και λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 29, 2019 11:14 am

Αλλιώς για το πρώτο ερώτημα σε κάθε οξυγώνιο τρίγωνο (ανεξάρτητα από τη συνθήκη \widehat B=2\widehat C).

Το περίκεντρο O είναι εσωτερικό σημείο και τα τρίγωνα OAB, OBC, OAC είναι ισοσκελή.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7546
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διαχωρισμός και λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιουν 29, 2019 7:45 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Ιουν 29, 2019 10:01 am
Χαιρετώ.
Διαχωρισμός και λόγος.PNG
Το τρίγωνο ABC είναι οξυγώνιο με \widehat{B}=2\widehat{C}.

Ι) Μπορούμε να το χωρίσουμε σε τρία ισοσκελή τρίγωνα ;

Αν δοθεί \dfrac{AB}{BC}=k και BE ύψος του τότε
ΙΙ) Να υπολογιστεί , συναρτήσει του k , ο λόγος \dfrac{AE}{EC}. Ευχαριστώ , Γιώργος.
Κατασκευή
Διαχωρισμός και λόγος_oritzin.png
Διαχωρισμός και λόγος_oritzin.png (17.08 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές
Έστω AC τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα και ο Απολλώνιος κύκλος για κάθε σημείο P του οποίου \boxed{\dfrac{{PA}}{{PC}} = k}ο οποίος τέμνει το AC στο D .

Γράφω και το κύκλο (D,DC) που τέμνει τον Απολλώνιο αυτό κύκλο στο B . Το \vartriangle ABC είναι το ζητούμενο .

Απόδειξη

Επειδή \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{DA}}{{DC}} = k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA = DC \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  AB = ka \hfill \\ 
  \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  AB = ka \hfill \\ 
  \widehat B = 2\widehat C \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Διαχωρισμός και λόγος.png
Διαχωρισμός και λόγος.png (54.45 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές
α) Γράφω το κύκλο (A,B,D) που τέμνει την AC στο S κι έστω M το μέσο του AC. Επειδή \widehat {BSA} = \widehat {BDA} = 2\widehat C \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {ABS} = \widehat {ASB} = 2\widehat \theta  \hfill \\ 
  \widehat \theta  = \widehat C \hfill \\  
\end{gathered}  \right..

Τελικά έχω τα εξής ισοσκελή τρίγωνα: \vartriangle ABS,\,\,\vartriangle SAC,\,\vartriangle DBC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle DAS

β) Επειδή SC = SA = AB = ka\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MC = \dfrac{a}{2} θα είναι :

\dfrac{{MS}}{{MC}} = \dfrac{{SC - MC}}{{MC}} = \dfrac{{ka - \dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{a}{2}}} = 2k - 1 . Για τα όμοια τρίγωνα BAC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DSC τα

BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DM\, είναι ομόλογα ύψη και άρα : \boxed{\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{MS}}{{MC}} = 2k - 1}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9800
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διαχωρισμός και λόγος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιουν 30, 2019 10:09 am

Για το β) ερώτημα ακολουθώ την ίδια διαδικασία, όπως στην ανάρτησή μου εδώ:
Ratio.png
Ratio.png (11.31 KiB) Προβλήθηκε 492 φορές
Πρώτα βρίσκω \displaystyle b = \sqrt {{c^2} + ac}  = x\sqrt {{k^2} + k} και στη συνέχεια με κριτήριο καθετότητας,

\displaystyle {x^2}(1 - {k^2}) = x\sqrt {{k^2} + k} \left( {EC - AE} \right) με EC+AE=x\sqrt{k^2+k}

Τέλος λύνοντας το σύστημα, \displaystyle \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{2{k^2} + k - 1}}{{k + 1}} = \frac{{(k + 1)(2k - 1)}}{{k + 1}} = 2k - 1


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1326
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Διαχωρισμός και λόγος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Ιουν 30, 2019 5:20 pm

Καλό απόγευμα. Να ευχαριστήσω τον νεαρό Πρόδρομο και τους Γιώργο και Νίκο για τις ωραίες προσεγγίσεις-λύσεις τους!

Πριν δώσω και προσωπική λύση ας τροποποιήσω το πρώτο ζητούμενο , μετά την αφοπλιστική γενίκευση του Γιώργου ως ιδιότητα του περίκεντρου .. :coolspeak: .
Το κάνω κυρίως για την ..εξυπηρέτηση του β' ερωτήματος.

Να διαχωριστεί το ως άνω τρίγωνο ABC σε τρία ισοσκελή τρίγωνα των οποίων όλες οι κορυφές να είναι πάνω στις πλευρές του ABC.

Ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9800
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διαχωρισμός και λόγος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιουν 30, 2019 6:00 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Ιουν 30, 2019 5:20 pm

...Να διαχωριστεί το ως άνω τρίγωνο ABC σε τρία ισοσκελή τρίγωνα των οποίων όλες οι κορυφές να είναι πάνω στις πλευρές του ABC.

Ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος.
Καλησπέρα σε όλους!
Ratio.a.png
Ratio.a.png (14.99 KiB) Προβλήθηκε 455 φορές
Ο κύκλος (B, BA) τέμνει τις AC, BC στα D, F αντίστοιχα. Tα τρίγωνα ABD, BDF, DFC είναι ισοσκελή.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 789
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Διαχωρισμός και λόγος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Ιουν 30, 2019 6:06 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Ιουν 30, 2019 5:20 pm

Να διαχωριστεί το ως άνω τρίγωνο ABC σε τρία ισοσκελή τρίγωνα των οποίων όλες οι κορυφές να είναι πάνω στις πλευρές του ABC.

Ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος.
Ένας ακόμη τρόπος:
79.PNG
79.PNG (26.28 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές
Παίρνω σημείο L στη AC ώστε AL=AB και από το L φέρω παράλληλη στην διχοτόμο BD η οποία τέμνει την BC στο M.

Τα ABL,MCL,BLM είναι ισοσκελή.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9800
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διαχωρισμός και λόγος

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 01, 2019 7:01 pm

Αλλιώς για το β) ερώτημα. Φέρνω τις DZ, FH||BE και είναι ZF=FC=x-kx.
Ratio.b.png
Ratio.b.png (17.32 KiB) Προβλήθηκε 406 φορές
\displaystyle \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{BZ}}{{BC}} = \frac{{x - 2(x - kx)}}{x} = 2k - 1


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες