Ισόπλευρο και τμήμα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3270
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Ισόπλευρο και τμήμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Ιουν 26, 2019 4:07 pm

shape.png
shape.png (15.15 KiB) Προβλήθηκε 620 φορές
Στο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου ABC, παίρνουμε σημείο P και φέρουμε τις προβολές PD,PE στις πλευρές AB,AC αντίστοιχα.

Αν AD = 3\sqrt 3 ,\,PE = 2 και \angle PBC = {15^ \circ }, να βρείτε το μήκος του τμήματος PB


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8929
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 26, 2019 5:17 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τετ Ιουν 26, 2019 4:07 pm
shape.pngΣτο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου ABC, παίρνουμε σημείο P και φέρουμε τις προβολές PD,PE στις πλευρές AB,AC αντίστοιχα.

Αν AD = 3\sqrt 3 ,\,PE = 2 και \angle PBC = {15^ \circ }, να βρείτε το μήκος του τμήματος PB
Καλησπέρα σε όλους!

Αν a είναι η πλευρά του ισοπλεύρου, τότε με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι:
Ισόπλευρο και τμήμα.ΜΝ.png
Ισόπλευρο και τμήμα.ΜΝ.png (19.37 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές
\displaystyle x + y + 2 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x + x\sqrt 2 \sin 15^\circ  + 2 = \frac{{(x + 3\sqrt 3 )\sqrt 3 }}{2},\sin 15^\circ  = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}

και μετά τις πράξεις, x=5 και \boxed{PB = x\sqrt 2  = 5\sqrt 2 }


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1865
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Ιουν 26, 2019 6:30 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τετ Ιουν 26, 2019 4:07 pm
shape.pngΣτο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου ABC, παίρνουμε σημείο P και φέρουμε τις προβολές PD,PE στις πλευρές AB,AC αντίστοιχα.

Αν AD = 3\sqrt 3 ,\,PE = 2 και \angle PBC = {15^ \circ }, να βρείτε το μήκος του τμήματος PB
Καλησπέρα

Εστω ST//BC,SK\perp AC,SD=t,

Τότε \hat{SPB}=15^{0},\hat{DPB}=60^{0},\hat{DSP}=60^{0}=\hat{ATS},,

Από γνωστή ασκηση

DP+PE=SK\Rightarrow DP=\dfrac{t\sqrt{3}+5}{2},SP=2t,PT=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}

,ET=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}, BP^{2}=2DP^{2}\Rightarrow BP^{2}=\dfrac{(5+t\sqrt{3})^{2}}{2}

,AS=ST\Rightarrow t=\dfrac{5\sqrt{3}}{3},BP^{2}=50\Leftrightarrow BP=5\sqrt{2}



Γιάννης
Συνημμένα
Ισόπλευρο και τμήμα.png
Ισόπλευρο και τμήμα.png (79.63 KiB) Προβλήθηκε 558 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7022
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιουν 26, 2019 7:20 pm

Κατασκευή

Σε ευθεία d θεωρώ σημείο P και κατασκευάζω δύο ημιευθείες {h_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{h_2} προς το αυτό μέρος της ευθείας και σχηματίζοντας από 30^\circ .

Πάνω στην {h_2} θεωρώ σημείο E για το οποίο \boxed{PE = 2}.

Φέρνω την ευθεία g . κάθετη στο E επί την {h_2} και μεταξύ αυτής και της {h_1} τοποθετώ τμήμα μήκους 3\sqrt 3 και κάθετο στην {h_1}.

Για την κατασκευή αυτή τοποθετώ τμήμα PT \bot {h_1}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{PT = 3\sqrt 3 } . . Η παράλληλη προς την {h_1} από το T τέμνει την g στο A

Η κάθετη από το A στην {h_1} την τέμνει στο D. Στην δε προέκταση της AD θεωρώ τμήμα B , ώστε : DB = DP

Φέρνω παράλληλη από το B , παράλληλη στην ευθεία d που συναντά τη g στο C.
ισόπλευρο και τμήμα.png
ισόπλευρο και τμήμα.png (36.68 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές
Υπολογισμός

Αν S το σημείο τομής της AT\,\, με την {h_2} . Τα \vartriangle TPS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle EAS είναι της μορφής :

\left( {90^\circ ,30^\circ ,60^\circ } \right) και αφού PT = 3\sqrt 3 θα είναι : \left\{ \begin{gathered} 
   \hfill \\ 
   \hfill \\  
\end{gathered}  \right.\left\{ \begin{gathered} 
  PS = 6 \hfill \\ 
  TS = 3 \hfill \\ 
  ES = 6 - 2 = 4 \hfill \\ 
  SA = 8 \hfill \\ 
  AT = 8 - 3 = 5 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow DP = DB = 5 \Rightarrow BP = 5\sqrt 2


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 647
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Ιουν 27, 2019 12:59 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τετ Ιουν 26, 2019 4:07 pm
shape.pngΣτο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου ABC, παίρνουμε σημείο P και φέρουμε τις προβολές PD,PE στις πλευρές AB,AC αντίστοιχα.

Αν AD = 3\sqrt 3 ,\,PE = 2 και \angle PBC = {15^ \circ }, να βρείτε το μήκος του τμήματος PB
Έστω a η πλευρά του ισοπλεύρου και T\equiv PE\cap BC

Το BDP είναι ορθογώνιο και ισοσκελές άρα \widehat{DPB}=45^{\circ}. Από το εγγράψιμο ADPE έχουμε ότι \widehat{DPE}=120^{\circ}

Άρα είναι \widehat{BPT}=15^{\circ} .Το BPT είναι ισοσκελές ,έστω BT=x. Είναι x+2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left ( a-x \right )\Leftrightarrow a=\dfrac{x\left ( 2+\sqrt{3} \right )+4}{\sqrt{3}}

BD=a-3\sqrt{3 }\Leftrightarrow BP=\dfrac{x\left ( 2+\sqrt{3} \right )-5}{\sqrt{3}}\,\,{*} .Με νόμο συνημιτόνων στο BTP είναι x=\dfrac{BP}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\dfrac{BP\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}

Αντικαθιστώντας το x στην (*) παίρνουμε εύκολα ότι BP=5\sqrt{2}

75.PNG
75.PNG (27.71 KiB) Προβλήθηκε 516 φορές


Altrian
Δημοσιεύσεις: 203
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Ιουν 27, 2019 2:41 pm

Καλησπέρα,

u=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\Rightarrow SA=3\sqrt{3}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}\Rightarrow x=SA\sqrt{3}=5\Rightarrow BP=5\sqrt{2}
Συνημμένα
ισοπλευρο και τμημα.png
ισοπλευρο και τμημα.png (22.96 KiB) Προβλήθηκε 469 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 343
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Πέμ Ιουν 27, 2019 6:43 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τετ Ιουν 26, 2019 4:07 pm
shape.pngΣτο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου ABC, παίρνουμε σημείο P και φέρουμε τις προβολές PD,PE στις πλευρές AB,AC αντίστοιχα.

Αν AD = 3\sqrt 3 ,\,PE = 2 και \angle PBC = {15^ \circ }, να βρείτε το μήκος του τμήματος PB
Καλησπέρα. Άλλη μια λύση στο πνεύμα των προηγουμένων...
Ισόπλευρο και τμήμα.png
Ισόπλευρο και τμήμα.png (49.19 KiB) Προβλήθηκε 442 φορές
Φέρω την DF κάθετη στην AC και την PG κάθετη στην DF .
Το ADPE είναι εγγράψιμο.
Συνεπώς σχηματίζονται τα ορθογώνια τρίγωνα ADF και DPG .
Στο ADF έχουμε : \widehat{ADF}=30^o, οπότε AF=\dfrac{AD}{2}.
Aπό Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ίδιο τρίγωνο προκύπτει :DF=\dfrac{9}{2}.
Άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο DPG έχουμε DG=\dfrac{5}{2} και επειδή \widehat{DPG}=30^o
είναι DG=\dfrac{DP}{2} επομένως DP=5.
Τέλος από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο DBP προκύπτει BP=5\sqrt{2}.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1202
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Ιουν 28, 2019 12:51 am

Χαιρετώ όλη την παρέα! Από ένα :clap2: για κάθε λύση που προηγήθηκε! Ακόμη μία με χρήση του σχήματος:
Ισόπλευρο..Μ.Ν.PNG
Ισόπλευρο..Μ.Ν.PNG (9.59 KiB) Προβλήθηκε 403 φορές
Έχουμε MN=\upsilon =x+2 αλλά και MN=9/2 +x/2. Οπότε x=5 και BP=5\sqrt{2}. Φιλικά , Γιώργος.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1764
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Ιουν 28, 2019 1:13 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τετ Ιουν 26, 2019 4:07 pm
shape.pngΣτο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου ABC, παίρνουμε σημείο P και φέρουμε τις προβολές PD,PE στις πλευρές AB,AC αντίστοιχα.

Αν AD = 3\sqrt 3 ,\,PE = 2 και \angle PBC = {15^ \circ }, να βρείτε το μήκος του τμήματος PB

\displaystyle \tan {60^0} = \sqrt 3  = \frac{{x + y}}{x} \Rightarrow y = x\left( {\sqrt 3  - 1} \right) \Rightarrow ZC = x + 3\sqrt 3  - x\left( {\sqrt 3  - 1} \right)

\displaystyle \sin {60^0} = \frac{{ZP}}{{ZC}} \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{x\left( {\sqrt 3  - 1} \right) + 2}}{{x + 3\sqrt 3  - x\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}} \Rightarrow \boxed{x = 5} \Rightarrow \boxed{BP = 5\sqrt 2 }
Ισόπλευρο και τμήμα.png
Ισόπλευρο και τμήμα.png (27.55 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3270
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Ιουν 28, 2019 7:59 am

Αυτή είναι η ομορφιά της Γεωμετρίας...σας ευχαριστώ όλους για τις υπέροχες λύσεις! Η λύση μου είναι παρόμοια με του συνονόματου Μιχάλη, ακολουθώντας άλλη διαδρομή.
shape.png
shape.png (24.53 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης