Εμβαδόν τετραπλεύρου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3251
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Εμβαδόν τετραπλεύρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Ιουν 13, 2019 4:29 pm

shape.png
shape.png (25.2 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές
Στο παραπάνω σχήμα, ζητείται το εμβαδόν του τετραπλεύρου ABCD.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 392
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Ιουν 13, 2019 5:59 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Πέμ Ιουν 13, 2019 4:29 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, ζητείται το εμβαδόν του τετραπλεύρου ABCD.
Καλησπέρα!

Είναι SQ=PR=10.

\dfrac{\left ( APB \right )}{\left (PQR \right )}=\dfrac{5\cdot 6}{100}=\dfrac{12}{40}

\dfrac{\left ( QDC \right )}{\left (QRP \right )}=\dfrac{2\cdot 5}{8\cdot 10}=\dfrac{5}{40}

\dfrac{\left ( CRB \right )}{\left (PQR \right )}=\dfrac{3\cdot 4}{8\cdot 10}=\dfrac{6}{40}

Άρα είναι \dfrac{\left ( ABCD \right )}{\left ( PQR \right )}=\dfrac{40-12-6-5}{40}=\dfrac{17}{40}

Έστω u το ύψος της κορυφής του PQR .

Επειδή PQR ισοσκελές:

u=\sqrt{100-16}=2\sqrt{21}

PQR=\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 2\sqrt{21}=8\sqrt{21}

Άρα \dfrac{\left ( ABCD \right )}{8\sqrt{21}}=\dfrac{17}{40}\Leftrightarrow \boxed{\left ( ABCD \right )=\dfrac{17\sqrt{21}}{5}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6737
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιουν 13, 2019 6:01 pm

Εμβαδόν τετραπλεύρου.png
Εμβαδόν τετραπλεύρου.png (23.38 KiB) Προβλήθηκε 280 φορές

Το τρίγωνο DQC είναι όμοιο με το τρίγωνο που σχηματίζει μια των ίσων πλευρών του ισοσκελούς τριγώνου PQR με τη διάμεσο στη βάση . Άρα CD \bot PQ.

Φέρνω BS//CA \Rightarrow \boxed{AS = \frac{{19}}{5}} . Έχω : DC = h = \sqrt {{5^2} - {2^2}}  = \sqrt {21} και άρα :

\boxed{(ABCD) = (CDS) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{19}}{5} + 3} \right)\sqrt {21}  = \frac{{17\sqrt {21} }}{{5}}}


Edit: Για πιο αναλυτικό σχήμα

Εμβαδόν τετραπλεύρου_1.png
Εμβαδόν τετραπλεύρου_1.png (42.39 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Πέμ Ιουν 13, 2019 6:41 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8430
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιουν 13, 2019 6:02 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Πέμ Ιουν 13, 2019 4:29 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, ζητείται το εμβαδόν του τετραπλεύρου ABCD.
Καλησπέρα σε όλους!
Εμβαδόν τετραπλεύρου.ΜΝ.png
Εμβαδόν τετραπλεύρου.ΜΝ.png (10.52 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές
Με νόμο συνημιτόνων βρίσκω \displaystyle \cos Q = \frac{2}{5},\cos P = \frac{{17}}{{25}} \Rightarrow \sin Q = \sin R = \frac{{\sqrt {21} }}{5},\sin P = \frac{{4\sqrt {21} }}{{25}}

\displaystyle (ABCD) = (PQR) - (PAB) - (DQC) - (BCR) = 40 \cdot \frac{{\sqrt {21} }}{5} - 15 \cdot \frac{{4\sqrt {21} }}{{25}} - 5 \cdot \frac{{\sqrt {21} }}{5} - 6 \cdot \frac{{\sqrt {21} }}{5}

Άρα, \boxed{(ABCD)=\frac{17\sqrt{21}}{5}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6737
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιουν 13, 2019 7:27 pm

Ας είναι S η τομή των ευθειών AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QR . Από Θ. Μενελάου στο \vartriangle PQR με διατέμνουσα \overline {ABS} έχω:

\boxed{\frac{{PA}}{{AQ}} \cdot \frac{{QS}}{{SR}} \cdot \frac{{RB}}{{BP}} = 1 \Rightarrow \frac{5}{5} \cdot \frac{{8 + SR}}{{SR}} \cdot \frac{4}{6} = 1 \Rightarrow RS = 16}

Φέρνω τα ύψη : x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y\,\, των τριγώνων AQS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BCS, καθώς και το ύψος u του \vartriangle PQR.

Εμβαδόν τετραπλεύρου_new.png
Εμβαδόν τετραπλεύρου_new.png (33.69 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές
Προφανώς : \left\{ \begin{gathered} 
  x = CD = h = \frac{u}{2} \hfill \\ 
  y = \frac{2}{5}u \hfill \\ 
  u = \sqrt {100 - 16}  = 2\sqrt {21}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

\boxed{(ABCD) = (AQS) - (DQC) - (BCS) = 12x - h - \frac{{19}}{2}y = \left( {6 - \frac{1}{2} - \frac{{19}}{5}} \right)u = \frac{{17\sqrt {21} }}{5}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης