Κύκλοι και λόγος τμημάτων.

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1101
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Κύκλοι και λόγος τμημάτων.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Ιουν 09, 2019 9:05 pm

1.png
1.png (12.57 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές

Καλησπέρα.

Δίνονται οι παραπάνω κύκλοι (O_{1}, R), (O_{2}, R), (O_{2}, \dfrac{R}{2}).

Δείξτε ότι \dfrac{a}{b}=\Phi .



Λέξεις Κλειδιά:
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 292
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Κύκλοι και λόγος τμημάτων.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Ιουν 09, 2019 10:34 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Ιουν 09, 2019 9:05 pm
1.png


Καλησπέρα.

Δίνονται οι παραπάνω κύκλοι (O_{1}, R), (O_{2}, R), (O_{2}, \dfrac{R}{2}).

Δείξτε ότι \dfrac{a}{b}=\Phi .
Καλησπέρα!

Το AO_1O_2 είναι ισόπλευρο άρα a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}R

Έστω \widehat{O_2O_1N}=\vartheta

Νόμος ημιτόνων στο O_1O_2N : \dfrac{\dfrac{R}{2}}{\sin\vartheta }=\dfrac{R}{\cos\dfrac{\vartheta }{2}}\Leftrightarrow 2\sin\vartheta =\cos\dfrac{\vartheta }{2}\Leftrightarrow 4(1-\cos^2\vartheta )=\dfrac{\cos\vartheta +1}{2}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \cos\vartheta =\dfrac{7}{8},\cos\dfrac{\vartheta }{2}=\dfrac{\sqrt{15}}{4}

\widehat{NO_2A}=\dfrac{\vartheta }{2}

Νόμος συνημιτόνων στο AO_2N:

\dfrac{R^2}{4}=R^2+b^2-2bR\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Leftrightarrow b^2-bR\dfrac{\sqrt{15}}{2}+\dfrac{3}{4}R^2=0

Λύνοντας την παραπάνω εξίσωση κρατάμε την λύση b=R\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{4}=R\sqrt{3}\dfrac{\sqrt{5-1}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}R}{\sqrt{5+1}}=\dfrac{a}{\phi }\Leftrightarrow \boxed{\dfrac{a}{b}=\phi }


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6498
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κύκλοι και λόγος τμημάτων.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιουν 10, 2019 1:44 am

Ας είναι Tτο αντιδιαμετρικό του {O_2} στο κύκλου κέντρου {O_1}. Έστω ακόμα B το άλλο κοινό σημείων των δύο μεγάλων κύκλων.

Αφού η AB μεσοκάθετος στην ακτίνα {O_1}{O_2} του κύκλου κέντρου {O_1} το τρίγωνο TABείναι ισόπλευρο και άρα η γωνία \widehat {{\theta _1}} = 30^\circ .

Είναι προφανές ότι από οποιοδήποτε σημείο του μεγάλου κύκλου με κέντρο το {O_2} αν φέρουμε εφαπτόμενα τμήματα στο ομόκεντρό του μικρό κύκλο ,

αυτά θα είναι ίσα με AM = a και μάλιστα αν φέρουμε τη χορδή των επαφών θα προκύψει ισόπλευρο τρίγωνο.
Κύκλοι και λόγοι τμημάτων.png
Κύκλοι και λόγοι τμημάτων.png (32.09 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές
Προεκτείνω την AN μέχρι να κόψει το μικρό κύκλο στο C.

Αν φέρω την εφαπτομένη του μικρού κύκλου στο N μέχρι να κόψει το μεγάλο στο D , επειδή \widehat \theta  = \widehat {{\theta _1}} = 30^\circ θα είναι \widehat {CND} = 60^\circ ,

έτσι αν φέρω από την DC θα έχω την άλλη εφαπτομένη από το D και θα είναι το τρίγωνο DNC ισόπλευρο πλευράς a.

Επειδή A{M^2} = AN \cdot AC = AN(AN + NC) \Rightarrow \boxed{{a^2} = b(a + b)} συνεπώς από τον ορισμό της χρυσής τομής το N χωρίζει το CA σε μέσο κι άκρο λόγο .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες