Διάμετρος προς υποτείνουσα

#1

: Διάμετρος προς υποτείνουσα.png (8.28 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

του σχήματος είναι AB=2AC, MN||BC

και το ημικύκλιο διαμέτρου

εφάπτεται

στη BC.

Να βρείτε το λόγο $\dfrac{MN}{BC}$ και να υπολογίσετε το μέρος της επιφάνειας του ABC

που καταλαμβάνει το ημικύκλιο.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 08, 2019 7:50 pm
Διάμετρος προς υποτείνουσα.png
Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος είναι και το ημικύκλιο διαμέτρου εφάπτεται

στη Να βρείτε το λόγο $\dfrac{MN}{BC}$ και να υπολογίσετε το μέρος της επιφάνειας του που καταλαμβάνει το ημικύκλιο.

Καλησπέρα!

Έστω

η επαφή του ημικυκλίου με την

.

Επειδή $\widehat{NLM}=90$ το

θα ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του MLN

Επίσης αφού $\widehat{MAL}=\widehat{MNL}=45^{\circ}$ θα είναι

διχοτόμος της

κι έτσι με θεώρημα διχοτόμων στο ABC

:

$\dfrac{BL}{LC}=\dfrac{AB}{AC}=2\Leftrightarrow BL=\dfrac{2}{3}BC\,\,\,(*)$

Είναι
$\tan\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}$ άρα $\cos^2\widehat{ABC}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{4}}\Leftrightarrow AB=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}BC$

$MN//BC\Leftrightarrow AM=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}MN\,\,(**)$

Με δύναμη σημείου προς κύκλο:
$AB\cdot BM=BL^2\overset{(*),(**)}{\Leftrightarrow} BC\cdot \dfrac{4}{5}\left ( BC-MN \right )=\dfrac{4}{9}BC^2\Leftrightarrow \dfrac{4}{9}BC=MN\Leftrightarrow \boxed{\dfrac{MN}{NC}=\dfrac{4}{9}}$

Βλέποντας την παρακάτω λύση διαπίστωσα πως ξέχασα να απατήσω στο β)

#3

Ας είναι

το κέντρο του ημικυκλίου ,

το σημείο επαφής και

η προβολή του

στην

.

Επειδή το $\vartriangle DNM$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και το τετράπλευρο AMDN

εγγεγραμμένο , τα τόξα χορδών $DM\,,\,\,DN$ θα είναι ίσα .

Άμεση συνέπεια: η

είναι διχοτόμος του $\vartriangle ABC$ . Αν θέσω τώρα KM = R = 2x

Επειδή το τετράπλευρο KMTD

είναι τετράγωνο και τα τρίγωνα $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,TBM$ όμοια , θα είναι: $TB = 4x \Rightarrow BD = 6x \Rightarrow CD = 3x$ .

: Διάμετρος πρός υποτείνουσα.png (22.73 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές

α) $\boxed{\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{4x}}{{9x}} = \frac{4}{9}}$

β) Ας είναι E = (ABC)

και ${E_1}$ το εμβαδόν του ημικυκλίου. Αν AC = b

θα είναι

. Από το Π. Θ. στο ABC

θα έχω:

$81{x^2} = 5{b^2} \Leftrightarrow \boxed{{b^2} = \frac{{81{x^2}}}{5}}\,\,\,(1)$ . Τώρα ταυτόχρονα θα ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} {E_1} = \frac{1}{2}\pi {(2x)^2} \hfill \\ E = \frac{1}{2}(2b)b \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {E_1} = 2\pi {x^2} \hfill \\ E = {b^2}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{81{x^2}}}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{{E_1}}}{E} = \frac{{10\pi }}{{81}}}$

Διάμετρος προς υποτείνουσα

Διάμετρος προς υποτείνουσα

Re: Διάμετρος προς υποτείνουσα

Re: Διάμετρος προς υποτείνουσα

Μέλη σε σύνδεση