Διάμετρος προς υποτείνουσα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8082
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Διάμετρος προς υποτείνουσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 08, 2019 7:50 pm

Διάμετρος προς υποτείνουσα.png
Διάμετρος προς υποτείνουσα.png (8.28 KiB) Προβλήθηκε 235 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC του σχήματος είναι AB=2AC, MN||BC και το ημικύκλιο διαμέτρου MN εφάπτεται

στη BC. Να βρείτε το λόγο \dfrac{MN}{BC} και να υπολογίσετε το μέρος της επιφάνειας του ABC που καταλαμβάνει το ημικύκλιο.



Λέξεις Κλειδιά:
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 292
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Διάμετρος προς υποτείνουσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιουν 08, 2019 9:20 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιουν 08, 2019 7:50 pm
Διάμετρος προς υποτείνουσα.png
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC του σχήματος είναι AB=2AC, MN||BC και το ημικύκλιο διαμέτρου MN εφάπτεται

στη BC. Να βρείτε το λόγο \dfrac{MN}{BC} και να υπολογίσετε το μέρος της επιφάνειας του ABC που καταλαμβάνει το ημικύκλιο.
Καλησπέρα!

Έστω L η επαφή του ημικυκλίου με την BC.

Επειδή \widehat{NLM}=90 το  A θα ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του MLN

Επίσης αφού \widehat{MAL}=\widehat{MNL}=45^{\circ} θα είναι AL διχοτόμος της A κι έτσι με θεώρημα διχοτόμων στο ABC :

\dfrac{BL}{LC}=\dfrac{AB}{AC}=2\Leftrightarrow BL=\dfrac{2}{3}BC\,\,\,(*)

Είναι
\tan\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2} άρα \cos^2\widehat{ABC}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{4}}\Leftrightarrow AB=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}BC

MN//BC\Leftrightarrow AM=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}MN\,\,(**)

Με δύναμη σημείου προς κύκλο:
AB\cdot BM=BL^2\overset{(*),(**)}{\Leftrightarrow} BC\cdot \dfrac{4}{5}\left ( BC-MN \right )=\dfrac{4}{9}BC^2\Leftrightarrow \dfrac{4}{9}BC=MN\Leftrightarrow \boxed{\dfrac{MN}{NC}=\dfrac{4}{9}}

Βλέποντας την παρακάτω λύση διαπίστωσα πως ξέχασα να απατήσω στο β) :oops:
Συνημμένα
60.PNG
60.PNG (19.12 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Κυρ Ιουν 09, 2019 12:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6498
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διάμετρος προς υποτείνουσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιουν 09, 2019 12:15 pm

Ας είναι K το κέντρο του ημικυκλίου , D το σημείο επαφής και T η προβολή του M στην BC.

Επειδή το \vartriangle DNMείναι ορθογώνιο και ισοσκελές και το τετράπλευρο AMDN εγγεγραμμένο , τα τόξα χορδών DM\,,\,\,DN θα είναι ίσα .

Άμεση συνέπεια: η ADείναι διχοτόμος του \vartriangle ABC. Αν θέσω τώρα KM = R = 2x

Επειδή το τετράπλευρο KMTD είναι τετράγωνο και τα τρίγωνα ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,TBM όμοια , θα είναι: TB = 4x \Rightarrow BD = 6x \Rightarrow CD = 3x.
Διάμετρος πρός υποτείνουσα.png
Διάμετρος πρός υποτείνουσα.png (22.73 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές
α) \boxed{\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{4x}}{{9x}} = \frac{4}{9}}

β) Ας είναι E = (ABC) και {E_1} το εμβαδόν του ημικυκλίου. Αν AC = b θα είναι AB = 2b. Από το Π. Θ. στο ABC θα έχω:

81{x^2} = 5{b^2} \Leftrightarrow \boxed{{b^2} = \frac{{81{x^2}}}{5}}\,\,\,(1) . Τώρα ταυτόχρονα θα ισχύουν:

\left\{ \begin{gathered} 
  {E_1} = \frac{1}{2}\pi {(2x)^2} \hfill \\ 
  E = \frac{1}{2}(2b)b \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {E_1} = 2\pi {x^2} \hfill \\ 
  E = {b^2}\mathop  = \limits^{(1)} \frac{{81{x^2}}}{5} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{{E_1}}}{E} = \frac{{10\pi }}{{81}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης