Πλευρά Παραλληλογράμμου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Πλευρά Παραλληλογράμμου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Μάιος 22, 2019 12:00 am

shape.png
shape.png (12.84 KiB) Προβλήθηκε 284 φορές
Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD με M,N τα μέσα των πλευρών BC,CD αντίστοιχα. Αν K \equiv AN \cap DM, DM \bot BC, AN διχοτόμος της \angle A και KN = 2, να βρείτε το μήκος της πλευράς AD.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6662
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πλευρά Παραλληλογράμμου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μάιος 22, 2019 2:50 am

Η AN διχοτομεί τη γωνία στο A του παραλληλογράμμου ABCD, άρα το τρίγωνο DANείναι ισοσκελές οπότε η μεγάλη πλευρά του ABCD είναι διπλάσια της μικρής.

Ας είναι L το μέσο του AB και E το σημείο τομής των AN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BL..

Το τετράπλευρο ALND είναι ρόμβος και έτσι \boxed{DE \bot AK}\,\,(1) ενώ αφού AD//BC θα είναι και MD \bot DA.

Φέρνω τώρα BS// = AN και έστω T το σημείο τομής των DM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS.
Πλευρά πραλληλογράμμου_ok.png
Πλευρά πραλληλογράμμου_ok.png (22.5 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές

Τα τετράπλευρα : ALCN\,\,,\,\,LBSC\,\,,\,\,ABSN είναι παραλληλόγραμμα , ακόμα δε:

DN = NC = CS οπότε CQ = 2KN = 4 και από το τραπέζιο TSNK έχω:

\dfrac{{TS + KN}}{2} = CQ \Rightarrow TS = 6 \Rightarrow BS = 10 \Rightarrow \boxed{AN = 10}.

Αβίαστα τώρα έχω AE = EN = 5\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EK = 3. Από το Θ. Ευκλείδη στο \vartriangle DAK έχω :

{x^2} = A{D^2} = AE \cdot AK = 5 \cdot 8 = 40 \Rightarrow \boxed{x = 2\sqrt {10} }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8316
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πλευρά Παραλληλογράμμου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 22, 2019 11:00 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τετ Μάιος 22, 2019 12:00 am
shape.pngΔίνεται παραλληλόγραμμο ABCD με M,N τα μέσα των πλευρών BC,CD αντίστοιχα. Αν K \equiv AN \cap DM, DM \bot BC, AN διχοτόμος της \angle A και KN = 2, να βρείτε το μήκος της πλευράς AD.
Έστω O το κέντρο του παραλληλογράμμου, P το σημείο τομής των NO, DM και S το σημείο τομής των AN, BD. Έστω

ακόμα AD=2x, οπότε λόγω της διχοτόμου θα είναι DN=AD=2x κι επειδή AB=4x θα είναι και AS=2SN.

Πλευρά παραλληλογράμμου.Ν.png
Πλευρά παραλληλογράμμου.Ν.png (25.46 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές
Μενέλαος στο OSN με διατέμνουσα \displaystyle \overline {DKP} , \displaystyle \frac{{KN}}{{KS}} \cdot \frac{{SD}}{{DO}} \cdot \frac{{OP}}{{PN}} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{{KS}} \cdot \frac{2}{3} = 1 \Leftrightarrow KS = \frac{4}{3} \Rightarrow \boxed{AN=10}

Ν. συνημιτόνων στο ADN:
\displaystyle 100 = 8{x^2} - 8{x^2}\cos D = 8{x^2} + 8{x^2}\cos C = 8{x^2} + 8{x^2} \cdot \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \sqrt {10} και \boxed{AD=2\sqrt{10}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6662
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πλευρά Παραλληλογράμμου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μάιος 22, 2019 10:41 pm

Η AN διχοτομεί τη γωνία στο A του παραλληλογράμμου ABCD, άρα το τρίγωνο DANείναι ισοσκελές οπότε η μεγάλη πλευρά του ABCD είναι διπλάσια της μικρής.

Ας είναι Z το μέσο της AD τότε το τετράπλευρο DZBM είναι ορθογώνιο.

Ας είναι ακόμα E το σημείο τομής των AN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BZ, ενώ L το σημείο τομής των EC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DM.

Στο τρίγωνο CEB το M είναι μέσο της CB και ML//EB συνεπώς το L είναι μέσο της πλευράς CE με άμεση συνέπεια το K να είναι βαρύκεντρο του \vartriangle ECD.
Πλευρά πραλληλογράμμου_αλλιώς.png
Πλευρά πραλληλογράμμου_αλλιώς.png (21.73 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές

Θα είναι έτσι EK = 2KN = 4 κι αφού και στο τρίγωνο AKD το E είναι μέσο της AK , θα είναι AN = 4 + 4 + 2 = 10.

Φέρνω το ύψος προς την υποτείνουσα στο \vartriangle DAK και από το Θ. Ευκλείδη έχω :

A{D^2} = 5 \cdot 8 = 40 \Rightarrow AD = 2\sqrt {10}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1650
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Πλευρά Παραλληλογράμμου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Μάιος 23, 2019 12:40 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τετ Μάιος 22, 2019 12:00 am
shape.pngΔίνεται παραλληλόγραμμο ABCD με M,N τα μέσα των πλευρών BC,CD αντίστοιχα. Αν K \equiv AN \cap DM, DM \bot BC, AN διχοτόμος της \angle A και KN = 2, να βρείτε το μήκος της πλευράς AD.

Με \displaystyle KE \bot AB \Rightarrow E μέσον της \displaystyle AB \Rightarrow NE//BC και \displaystyle MN = \frac{{CD}}{2} = EB

Άρα \displaystyle NMBE ισοσκελές τραπέζιο με ίδιο περίκυκλο με το εγγράψιμο \displaystyle KEBM

Ισχύει \displaystyle AK \cdot AN = AE \cdot AB \Rightarrow \displaystyle y\left( {y - 2} \right) = 8{x^2} και \displaystyle PN \cdot PK = PM \cdot PB \Rightarrow y(y + 2) = 12{x^2}

Με διαίρεση κατά μέλη έχουμε \displaystyle \boxed{y = 10} άρα \displaystyle \boxed{x = \sqrt {10} } \Rightarrow \boxed{AD = 2x = 2\sqrt {10} }
πλευρά παραλληλογράμμου.png
πλευρά παραλληλογράμμου.png (19.43 KiB) Προβλήθηκε 180 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες