Γεωμετρική Κινητικότητα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5314
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Γεωμετρική Κινητικότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Μάιος 15, 2019 9:38 am

Απλά το θέμα viewtopic.php?f=22&t=46429 με οδήγησε συνειρμικά (;) στην επαναφορά ενός πολύ καλού και διδακτικού θέματος:

Έστω τρίγωνο ABC. Αν στις πλευρές του AB, AC κινούνται τα σημεία M, N αντίστοιχα, ώστε MN=MB+NC , τότε, η MN εφάπτεται σε σταθερό κύκλο.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7927
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γεωμετρική Κινητικότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 15, 2019 11:10 am

S.E.Louridas έγραψε:
Τετ Μάιος 15, 2019 9:38 am
Απλά το θέμα viewtopic.php?f=22&t=46429 με οδήγησε συνειρμικά (;) στην επαναφορά ενός πολύ καλού και διδακτικού θέματος:

Έστω τρίγωνο ABC. Αν στις πλευρές του AB, AC κινούνται τα σημεία M, N αντίστοιχα, ώστε MN=MB+NC , τότε, η MN εφάπτεται σε σταθερό κύκλο.
Καλημέρα Σωτήρη!

Είναι ο A-παρεγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου AMN.
Γεωμετρική κινητικότητα.png
Γεωμετρική κινητικότητα.png (13.39 KiB) Προβλήθηκε 117 φορές
Πράγματι, αν K είναι το κέντρο του κύκλου και S το σημείο επαφής του με την AM τότε η AK ως διχοτόμος της \widehat A έχει σταθερή

διεύθυνση και \displaystyle AS = \frac{{AM + MN + AN}}{2} = \frac{{AB + AC}}{2} = ct, A\widehat SK=90^\circ. Άρα ο κύκλος (K, KS) είναι σταθερός.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6426
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γεωμετρική Κινητικότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μάιος 15, 2019 12:57 pm

Ανάλυση

Ας δούμε πρώτα πως κατασκευάζεται το τμήμα MN. Ας είναι λοιπόν M σημείο του AB. Προεκτείνω την AC πέραν του C κατά τμήμα C{C_1} = BM = m.

Η μεσοκάθετος του M{C_1} τέμνει την AC στο σημείο N. Αυτή η μεσοκάθετος θα διχοτομεί την γωνία \widehat {MN{C_1}} \equiv \widehat {MNC}.

Με όμοιο τρόπο μπορούμε να επιλέξουμε τυχαίο σημείο N στην AC και να προσδιορίσουμε το Mκι εδώ θα φέρουμε τη διχοτόμο της \widehat {BMN} .
Γεωμετρική κινητικότητα.png
Γεωμετρική κινητικότητα.png (31.54 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές
Οι δυο αυτές διχοτόμοι θα τέμνονται, σε σημείο S, επί της διχοτόμου της γωνίας \widehat {BAC} , που είναι το παράκεντρο που αντιστοιχεί στο σημείο A του \vartriangle AMN

Αν SK \bot AB θα είναι ως γνωστό( όπως έγραψε ο Γιώργος)

2AK = AM + MN + NA = AB + AC

Το S θα είναι το κέντρο του σταθερού κύκλου με ακτίνα το σταθερό SK που εφάπτεται το MN.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7927
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γεωμετρική Κινητικότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 15, 2019 4:58 pm

Άλλη κατασκευή για το MN.
Γεωμετρική κινητικότητα.ΙΙ.png
Γεωμετρική κινητικότητα.ΙΙ.png (12.02 KiB) Προβλήθηκε 67 φορές

Έστω M σημείο της AB και I το έγκεντρο του τριγώνου. Ο κύκλος (M, MB) τέμνει τον

περίκυκλο του BIC στο E και η ME την AC στο ζητούμενο σημείο N.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης