Εμβαδόν και εφαπτομένη

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8296
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εμβαδόν και εφαπτομένη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 03, 2019 7:44 pm

Εμβαδόν και εφαπτομένη.png
Εμβαδόν και εφαπτομένη.png (10.99 KiB) Προβλήθηκε 361 φορές
\bigstar Δίνεται τεταρτοκύκλιο O\overset\frown{AB}. Το N είναι σημείο της ακτίνας OB και το M σημείο του τόξου ώστε το τρίγωνο

MAN να είναι ορθογώνιο με κάθετες πλευρές MN=3, AM=4. Οι OM, AN τέμνονται στο S.

α) Να δείξετε ότι N είναι το μέσο της ακτίνας OB και να βρείτε το εμβαδόν του τεταρτοκυκλίου.

β) Αν A\widehat SM=\theta, να υπολογίσετε την \tan \theta.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 366
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Εμβαδόν και εφαπτομένη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Μάιος 03, 2019 9:37 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Μάιος 03, 2019 7:44 pm
Εμβαδόν και εφαπτομένη.png
\bigstar Δίνεται τεταρτοκύκλιο O\overset\frown{AB}. Το N είναι σημείο της ακτίνας OB και το M σημείο του τόξου ώστε το τρίγωνο

MAN να είναι ορθογώνιο με κάθετες πλευρές MN=3, AM=4. Οι OM, AN τέμνονται στο S.

α) Να δείξετε ότι N είναι το μέσο της ακτίνας OB και να βρείτε το εμβαδόν του τεταρτοκυκλίου.

β) Αν A\widehat SM=\theta, να υπολογίσετε την \tan \theta.
Χριστός Ανέστη,

α)
Φέρω το υπόλοιπο ημικύκλιο:

Το NMAO είναι εγγράψιμο άρα \widehat{ANM}=\widehat{AOM}\Leftrightarrow \tan\widehat{ANM}=\tan(2\widehat{OKM})
Προφανώς AN=5 οπότε :
\tan2\widehat{OKN}=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow \dfrac{2\tan\widehat{OKN}}{1-\tan^2\widehat{OKN}}=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow -4\tan^2\widehat{OKN}-6\tan\widehat{OKN}+4=0\overset{\widehat{OKN}<180}{\Leftrightarrow} ..\tan\widehat{OKN}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \boxed{ON=\dfrac{BO}{2}}

Αν r η ακτίνα τότε
r^2+\dfrac{r^2}{4}=25\Leftrightarrow r=2\sqrt{5}
E_{\tau \varepsilon \tau }=\dfrac{20\pi}{4}=5\pi\Leftrightarrow \boxed{E_{\tau \varepsilon \tau }=5\pi}

β)

Με νόμο ημιτόνων στα OSA,ASM

\left\{\begin{matrix} &\dfrac{4}{\sin\vartheta }=\dfrac{MS}{\sin\widehat{NAM}} & \\ \\ & \dfrac{2\sqrt{5}}{\sin\vartheta }=\dfrac{2\sqrt{5}-MS}{\sin\widehat{OAN}} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \dfrac{12}{5\sin\vartheta }=2\sqrt{5}-\dfrac{2}{\sin\vartheta }\Leftrightarrow \sin\vartheta =\dfrac{11\sqrt{5}}{25}

και είναι \cos\vartheta =\sqrt{1-\sin^2\vartheta }=\sqrt{1-\dfrac{121}{125}}=\dfrac{2}{5\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{25}

Οπότε \tan\vartheta =\dfrac{\sin\vartheta }{\cos\vartheta }\Leftrightarrow \boxed{\tan\vartheta =\dfrac{11}{2}}
Συνημμένα
Capture87.PNG
Capture87.PNG (23.82 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6652
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν και εφαπτομένη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 04, 2019 6:14 pm

Κατασκευή-Απόδειξη..

Κατασκευάζω ορθογώνιο τρίγωνο MNA \to (3,5,4). Γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου AN που δεν ανήκει το M.

Η μεσοκαθετος στο AM τέμνει το ημικύκλιο στο O, την AN στο μέσο της K και την AM στο μέσο της T.

Θα είναι : \widehat {AON} = 90^\circ \,\,\,,\,\,\,OK = KA = \dfrac{5}{2}\,\,\,,\,\,KT// = \dfrac{1}{2}AN = \dfrac{3}{2} , συνεπώς

OT = \dfrac{{5 + 3}}{2} = 4 = 2TA . Αφού όμως \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} τα ορθογώνια τρίγωνα TOA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OAN

θα είναι όμοια , οπότε : OA = 2ON κι έτσι αν B το συμμετρικό του O ως προς το N θα είναι OA = OM = OB
Εμβαδόν κι εφαπτομένη.png
Εμβαδόν κι εφαπτομένη.png (19.75 KiB) Προβλήθηκε 296 φορές

α) Από το Π. Θ. στο \vartriangle TOA έχω {R^2} = {4^2} + {2^2} = 20 και άρα το εμβαδόν του τεταρτοκυκλίου είναι :

\boxed{{E_T} = \frac{1}{4}\pi {R^2} = 5\pi }.

β) Επειδή \widehat y = \widehat {{a_2}} ( από το εγγράψιμο AMNO) θα είναι :

\boxed{\tan \theta  = \tan (x + y) = \dfrac{{\tan x + \tan y}}{{1 - \tan x \cdot \tan y}} = \dfrac{{\dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{2}}}{{1 - \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{11}}{2}}


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Εμβαδόν και εφαπτομένη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Μάιος 06, 2019 7:46 am

george visvikis έγραψε:
Παρ Μάιος 03, 2019 7:44 pm

\bigstar Δίνεται τεταρτοκύκλιο O\overset\frown{AB}. Το N είναι σημείο της ακτίνας OB και το M σημείο του τόξου ώστε το τρίγωνο

MAN να είναι ορθογώνιο με κάθετες πλευρές MN=3, AM=4. Οι OM, AN τέμνονται στο S.

α) Να δείξετε ότι N είναι το μέσο της ακτίνας OB και να βρείτε το εμβαδόν του τεταρτοκυκλίου.

β) Αν A\widehat SM=\theta, να υπολογίσετε την \tan \theta.
Καλημέρα.
shape.png
shape.png (14.58 KiB) Προβλήθηκε 266 φορές
Από ισότητα γωνιών (εγγράψιμο, ισοσκελές) η NO είναι, εκτός από ύψος, διχοτόμος του  \triangleleft NAC, άρα NC = NA = 5

Από ομοιότητα των τριγώνων CMA,AON προκύπτει NO = \dfrac{R}{2}

Από Π.Θ. στο  \triangleleft AON:R = 2\sqrt 5 και E = 5\pi

Ισχύει:

\tan \varphi  = \dfrac{1}{2},\,\tan (2\varphi ) = \dfrac{{2\tan \varphi }}{{1 - {{\tan }^2}\varphi }} = \dfrac{4}{3}
\tan \theta  = \tan (3\varphi ) = \tan (2\varphi  + \varphi ) = \dfrac{{\tan 2\varphi  + \tan \varphi }}{{1 - \tan (2\varphi ) \cdot \tan \varphi }} = ... = \dfrac{{11}}{2}


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8296
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν και εφαπτομένη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 06, 2019 4:16 pm

Αλλιώς.
Εμβαδόν και εφαπτομένη.ΙΙ.png
Εμβαδόν και εφαπτομένη.ΙΙ.png (11.58 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές
α) Πτολεμαίος στο OAMN: \displaystyle 3R + 4x = 5R \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{R}{2}} και με Π. Θ \displaystyle R = 2\sqrt 5  \Rightarrow \boxed{{E_{\tau \varepsilon \tau }} = 5\pi }

β) \displaystyle (OAMN) = (OAN) + (MAN) \Leftrightarrow \frac{1}{2}OM \cdot AN\sin \theta  = 5 + 6 \Leftrightarrow

\displaystyle 5\sqrt 5 \sin \theta  = 11 \Leftrightarrow \sin \theta  = \frac{{11}}{{5\sqrt 5 }},\cos \theta  = \frac{2}{{5\sqrt 5 }} \Rightarrow \boxed{\tan \theta  = \frac{{11}}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 3 επισκέπτες