Σελίδα 1 από 1

Τριπλή ισότητα εμβαδών

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 01, 2019 9:44 pm
από sakis1963
GEOMETRIA231=FB1923.jpg
GEOMETRIA231=FB1923.jpg (34.97 KiB) Προβλήθηκε 398 φορές
Επειδή, καθώς φαίνεται, παραβίασα τον όρο του μαθητικού 24ώρου, ορίστε μια για μαθητές

\bigstar Στο δοσμένο σχήμα το ABC είναι ισόπλευρο,

τα N, L είναι τα μέσα των AB, AC,

το M είναι το μέσον του ελάσσονος τόξου \overset {\frown}{BC} και

KL είναι διάμετρος του έγκυκλου του ABC

Δείξτε ότι, τα τρία έγχρωμα χωρία, είναι ισεμβαδικά

σημ. το μικτόγραμμο χωρίο ANL είναι κυκλικός τομέας

Re: Τριπλή ισότητα εμβαδών

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 01, 2019 11:30 pm
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
sakis1963 έγραψε:
Τετ Μάιος 01, 2019 9:44 pm
GEOMETRIA231=FB1923.jpg
Επειδή, καθώς φαίνεται, παραβίασα τον όρο του μαθητικού 24ώρου, ορίστε μια για μαθητές

\bigstar Στο δοσμένο σχήμα το ABC είναι ισόπλευρο,

τα N, L είναι τα μέσα των AB, AC,

το M είναι το μέσον του ελάσσονος τόξου \overset {\frown}{BC} και

KL είναι διάμετρος του έγκυκλου του ABC

Δείξτε ότι, τα τρία έγχρωμα χωρία, είναι ισεμβαδικά

σημ. το μικτόγραμμο χωρίο ANL είναι κυκλικός τομέας
Χριστός Ανέστη,

Έστω AB=BC=AC=a
Επειδή τα A,M ανήκουν στην μεσοκάθετη του BC τα A,M,O με O το κέντρο του έγκυκλου του ABC θα είναι συνευθειακά .

Επειδή έχουμε ισόπλευρο θα είναι ON\perp AB,OL\perp AC

Επίσης το OBM είναι ισόπλευρο αφού ABM ισοσκελές με \widehat{BAM}=30^{\circ}

Οπότε σύμφωνα με τα παραπάνω
  • E_{red}=\pi AL^2\cdot \dfrac{\widehat{A}}{360^{\circ}}=\pi \cdot \dfrac{a^2}{4}\cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{\pi a^2}{24}
  • E_{yellow}=\pi \cdot OL^2\dfrac{180}{360}=\dfrac{\pi OL^2}{2}
    Επειδή στο ισόπλευρο το βαρύκεντρο ταυτίζεται με το έγκεντρο και το ύψος είναι \dfrac{a\sqrt{3}}{2} έχουμε

    E_{yellow}=\dfrac{\pi\cdot \left ( \dfrac{1}{3}BL \right )^2}{2}=\dfrac{\pi\left ( \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right )^2}{2}=\dfrac{\pi a^2}{24}
E_{blue}=\left ( \overset{\frown }{OBM} \right )-\left ( \overset{\frown }{NOK} \right )=\dfrac{\pi R^2}{8}=\dfrac{\pi a^2}{24}

Άρα ισοεμβαδικά.

Re: Τριπλή ισότητα εμβαδών

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μάιος 03, 2019 3:46 pm
από sakis1963
GEOMETRIA231=FB1923sol.jpg
GEOMETRIA231=FB1923sol.jpg (35.52 KiB) Προβλήθηκε 297 φορές
Ξεφεύγοντας λίγο από τον φάκελο, έχουμε:

Από το θεώρημα Mamikon, τα χωρία (b)lue=(r)ed αφού η εφαπτομένη NB "σαρώνει" το (b)lue χωρίο, για γωνία 60^o,

ενώ η ακτίνα AN(=NB) "σαρώνει" το (r)ed χωρίο (κυκλικό τομέα), για γωνία επίσης 60^o.

Είναι προφανές ότι τα χωρία (b)lue=(g)reen και λόγω συμμετρίας 3(b+g)=\pi(R^2-\rho^2)

και αφού ως γνωστόν R=2\rho, προκύπτει 2b=\pi\rho^2, δηλαδή (b)lue=(g)reen


για περισσότερα περί Mamikon και sweep tangents, εδώ και εδώ , ή εδώ New Horizons in Geometry