Σταθερή περίμετρος

#1

: Σταθερή περίμετρος..png (10.34 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABC

της μορφής (b,c,a)=(3k, 4k, 5k)

και τυχαίο σημείο

στη διχοτόμο του CD.

Από το

φέρνω κάθετη στη διχοτόμο που τέμνει την υποτείνουσα στο

και παράλληλη στην

που τέμνει την

στο

Η παράλληλη από το

στην

τέμνει την

στο

και την

στο

α) Να δείξετε ότι για τις διάφορες θέσεις του

η περίμετρος του ορθογωνίου AEHZ

είναι σταθερή. Συμβαίνει σε όλα τα

ορθογώνια τρίγωνα αυτό; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

β) Μπορείτε να γενικεύσετε για μη ορθογώνιο τρίγωνο;

#2

Καλησπέρα σε όλους.

Ξεκινώ με το πρώτο ερώτημα. Χρησιμοποιώ το σχήμα του Γιώργου, δίχως παρεμβάσεις (μόνο με προσθήκη συντεταγμένων).

: Σταθερή περίμετρος..png (10.34 KiB) Προβλήθηκε 558 φορές

Έστω

, οπότε είναι A(0,0), B(4, 0), C(0, 3)

.

Από Θ. εσωτερικής διχοτόμου είναι $\displaystyle \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{BC}}$ , οπότε $\displaystyle AD = \frac{3}{2}$

Άρα $\displaystyle \varepsilon \varphi \left( {ADC} \right) = \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{3}{{\frac{3}{2}}} = 2$ .

Οπότε $\displaystyle DC:\;\;y = - 2x + 3$ .

Έστω $\displaystyle P\left( {a,\; - 2a + 3} \right),\;\;0 < a < \frac{3}{2}$ , αφού $\displaystyle D\left( {\frac{3}{2},\;0} \right)$ .

Οπότε $\displaystyle PM:\;\;y + 2a - 3 = \frac{1}{2}\left( {x - a} \right) \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}a + 3$

Επίσης, $\displaystyle BC:\;y = - \frac{3}{4}x + 3$

Άρα $\displaystyle M\left( {2a,\; - \frac{{3a}}{2} + 3} \right)$ .

Τότε η περίμετρος του AEHZ

είναι $\displaystyle 2\left( {AE + AZ} \right) = 2\left( {2a + 3 - 2a} \right) = 6$ , σταθερή.

#3

Συνεχίζω με το δεύτερο υποερώτημα του πρώτου ερωτήματος.

Να δηλώσω εδώ ότι για τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ο εντοπισμός των συντεταγμένων των επίμαχων σημείων είναι κουραστικός ακόμα και για κατά ομολογίαν πωρωμένους χειριστές της Αναλυτικής Γεωμετρίας, όπως ο υπογράφων. Γι' αυτό επινοώ μια άλλη μέθοδο για να αποδείξω ότι η περίμετρος δεν είναι σταθερή.

: 25-4-2019 Γεωμετρία c.png (18.85 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Έστω

τυχαίο ορθογώνιο με υποτείνουσα

.

Αν το

τείνει να ταυτιστεί με το

η περίμετρος του AEHZ

τείνει να γίνει ίση με

, ενώ αν το

τείνει να ταυτιστεί με το

, τότε από την ομοιότητα των τριγώνων CKM, ABC

είναι $\displaystyle \frac{{KM}}{c} = \frac{{CM}}{{BC}} \Leftrightarrow KM = \frac{{bc}}{a}$ και η περίμετρος του AEHZ

τείνει να γίνει ίση με $\displaystyle 2KM = \frac{{2bc}}{a}$ , που δεν είναι ίσα, άρα δεν διατηρείται σταθερή.

Ερώτηση: Γιώργο, λέγοντας "γενικεύστε" για τυχαίο τρίγωνο, ζητάς τύπο της περιμέτρου συναρτήσει των πλευρών του;

#4

: Σταθερή περίμετρος.png (18.12 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές

Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι πάντα ίση με AC = 3k

Δεν ισχύει για όλα τα ορθογώνια τρίγωνα

Γενικεύεται για $\vartriangle ABC$ με 2a = b + c

αλλά σχηματίζουμε παραλληλόγραμμο με τη μια πλευρά παράλληλη προς τη

και την άλλη προς την

: Σταθερή περίμετρος γενικά.png (14.54 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές

Στο πρώτο σχήμα : και το τετράπλευρο είναι τετράγωνο .

Αύριο οι αποδείξεις

#5

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Παρ Απρ 26, 2019 12:22 am

Ερώτηση: Γιώργο, λέγοντας "γενικεύστε" για τυχαίο τρίγωνο, ζητάς τύπο της περιμέτρου συναρτήσει των πλευρών του;

Καλημέρα σε όλους!

Γιώργο, εννοώ κάτι αντίστοιχο με το ορθογώνιο τρίγωνο (δηλαδή διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου). Είναι η σχέση που

έγραψε ο Νίκος και φαίνεται στο δεύτερο σχήμα του. Μόνο που τώρα το ορθογώνιο γίνεται πλάγιο παραλληλόγραμμο.

Για την ιστορία, προέκυψε ενώ έψαχνα κάτι άλλο. Αρχικά, ζητούσα τη θέση του

(για την ακρίβεια υπάρχουν δύο θέσεις)

για την οποία στο αρχικό τρίγωνο είναι: (AEHZ)=2k^2.

Στη συνέχεια όμως προτίμησα τη σταθερή περίμετρο.

#6

Καλησπέρα σε όλους. Κάνω μια προσπάθεια για τη γενίκευση του θέματος, όπως τη ζήτησε ο Γιώργος. Φαντάζομαι και η αντιμετώπιση του Νίκου θα είναι παρόμοια.

: 26-04-2019 Γεωμετρία.png (50.05 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές

Έστω τρίγωνο ABC

με $b \le c \le a$ . Φέρνουμε τη διχοτόμο

και έστω

τυχαίο σημείο της. Φέρνουμε κάθετη της

στο

, η οποία τέμνει την

στο

.

H παράλληλη από το

στην

τέμνει την

στο

και η παράλληλη από το

στην

τέμνει την

στο

και την προέκταση της

στο

.

Έστω

.

Από Θ. Eσωτερικής Διχοτόμου, είναι $\displaystyle AD = \frac{{bc}}{{a + b}}$ .

Έστω $\displaystyle ZP = x,\;0 < x < \frac{{bc}}{{a + b}}$ .

Aπό την ομοιότητα των τριγώνων CZP, CAD

είναι
$\displaystyle \frac{x}{{\frac{{bc}}{{a + b}}}} = \frac{{b - y}}{b} \Leftrightarrow x\left( {a + b} \right) = bc - cy$ $\displaystyle \Leftrightarrow y = b - \frac{{x\left( {a + b} \right)}}{c}$ (1).

Προεκτείνουμε την

ώσπου να κόψει την

στο

.

Αφού

παραλληλόγραμμο, είναι ZH = 2x

,

Οπότε, η περίμετρος του AEHZ

είναι ίση με $\displaystyle {\rm P} = 2\left( {ZH + AZ} \right) = 4x + 2y$ ,

οπότε, λόγω της (1) είναι

$\displaystyle P = 4x + 2b - \frac{{2x\left( {a + b} \right)}}{c} = 2b + \frac{{2\left( {2c - a - b} \right)x}}{c}$

οπότε εξαρτάται από το

, άρα είναι μεταβλητή, εκτός από την περίπτωση όπου ο

είναι αριθμητικός μέσος των a, b

.

Σταθερή περίμετρος

Σταθερή περίμετρος

Re: Σταθερή περίμετρος

Re: Σταθερή περίμετρος

Re: Σταθερή περίμετρος

Re: Σταθερή περίμετρος

Re: Σταθερή περίμετρος

Μέλη σε σύνδεση