Κριτήριο εγγραψιμότητας

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 772
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Κριτήριο εγγραψιμότητας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Τρί Απρ 16, 2019 11:46 pm

GEOMETRIA222=FB2947.jpg
GEOMETRIA222=FB2947.jpg (32.47 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές
Εστω παραλληλόγραμμο AECF και σημεία B, D επί των πλευρών του AE, AF αντίστοιχα.

Δείξτε ότι το τετράπλευρο ABCD είναι εγγράψιμο, αν και μονο τότε αν, AC^2=AE \cdot AB+ AF \cdot AD


Η πρόταση είναι του φίλου Θανάση Γακόπουλου, χημικού μηχανικού και ερευνητή του "Πλαγιογώνιου Συστήματος"


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6784
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κριτήριο εγγραψιμότητας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Απρ 17, 2019 2:59 am

Γράφω τους κύκλους (B,E,C)\,\,,\,\,(D,F,C) που τέμνουν την AC\,\,στα T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S, Έστω δε (\varepsilon ) η εφαπτομένη του αρχικού κύκλου στο {\rm A}.

\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat \theta  = \widehat {ACB} = {\widehat \theta _1} \hfill \\ 
  \widehat \omega  = \widehat {DCA} = \widehat {{\omega _1}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  TE//(\varepsilon ) \hfill \\ 
  SF//(\varepsilon ) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow TE//SF , οπότε προφανώς :

Κριτήριο για εγγράψιμο.png
Κριτήριο για εγγράψιμο.png (42.69 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές
\vartriangle TAE = \vartriangle SCF \Rightarrow \boxed{TA = SC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS = TC}\,\,(1)

\left\{ \begin{gathered} 
  AE \cdot AB = AT \cdot AC \hfill \\ 
  AF \cdot AD = AS \cdot AC \hfill \\  
\end{gathered}  \right. προσθέτω και λόγω της (1) έχω:

AE \cdot AB + AF \cdot AD = AC(AT + AS) = AC(AT + TC) = A{C^2}

Το αντίστροφο με άτοπο


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1248
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Κριτήριο εγγραψιμότητας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τετ Απρ 17, 2019 10:30 pm

Το ζητούμενο προκύπτει αρκετά εύκολα και με αντιστροφή με κέντρο Α και ακτίνα AC.

Για το γενικό αποτέλεσμα δείτε εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... ogram_abcd


Σιλουανός Μπραζιτίκος
thanasis.a
Δημοσιεύσεις: 485
Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Re: Κριτήριο εγγραψιμότητας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanasis.a » Τετ Απρ 17, 2019 11:38 pm

sakis1963 έγραψε:
Τρί Απρ 16, 2019 11:46 pm
GEOMETRIA222=FB2947.jpg
Εστω παραλληλόγραμμο AECF και σημεία B, D επί των πλευρών του AE, AF αντίστοιχα.

Δείξτε ότι το τετράπλευρο ABCD είναι εγγράψιμο, αν και μονο τότε αν, AC^2=AE \cdot AB+ AF \cdot AD


Η πρόταση είναι του φίλου Θανάση Γακόπουλου, χημικού μηχανικού και ερευνητή του "Πλαγιογώνιου Συστήματος"
draw1.png
draw1.png (43.97 KiB) Προβλήθηκε 366 φορές
..καλησπέρα..

προς την μία κατεύθυνση, δηλαδή αν έχουμε εγγράψιμο τετράπλευρο με τα πιο πάνω χαρακτηριστικά τότε θα δείξουμε την μετρική σχέση.

Με βάση τις γωνίες που έχουν σημειωθεί στο σχήμα έχουμε: \chi +\rho =180^{\circ}.

Από ν. ημιτόνου στο \displaystyle\bigtriangleup CEB\Rightarrow BC=\frac{\eta \mu \widehat{\omega }}{\eta \mu \widehat{\rho }}CE\,\,\,(1))

Από ν. ημιτόνου στο \displaystyle\bigtriangleup FDC\Rightarrow DC=\frac{\eta \mu \widehat{\omega }}{\eta \mu \widehat{\rho }}CF\,\,\,(2)),αφού επειδή \displaystyle\widehat{\chi }+\widehat{\rho }=180^{\circ}\Rightarrow \eta \mu \widehat{\rho }=\eta \mu \widehat{\chi }

Από θ. Πτολεμαίου στο ABCD\Rightarrow DB\cdot AC=AB\cdot DC+AD\cdot BC(3).Επίσης \displaystyle AF=CE, AE=FC\,\,\,(4))

Από τις σχέσεις (1),(2),(3),(4) έχουμε: \displaystyle AC\cdot DB=\frac{\eta \mu \widehat{\omega }}{\eta \mu \widehat{\rho }}\cdot (AD\cdot AF+AB\cdot AE)\,\,\,(5))



Όμως με ν. ημιτόνων στο\displaystyle\bigtriangleup ADB\Rightarrow \frac{AB}{\eta \mu \theta } =\frac{AD}{\eta \mu \widehat{\rho }}\,\,\,\wedge \,\,\,\,\bigtriangleup ACB\Rightarrow \frac{AC}{\eta \mu \widehat{\rho }}=\frac{AB}{\eta \mu \widehat{\theta }}\Rightarrow AC=\frac{\eta \mu \widehat{\rho }}{\eta \mu \widehat{\omega }}\cdot DB(6).

Οι σχέσεις (5) , (6) μα δίνουν το ζητούμενο , δηλαδή : \boxed {AC^{2}=AD\cdot AF+AB\cdot AE}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10947
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κριτήριο εγγραψιμότητας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Απρ 18, 2019 5:35 am

Να θυμίσω ότι το ευθύ , είναι άσκηση του σχολικού βιβλίου Προσανατολισμού ,

όπου και προτείνεται απλή λύση με χρήση διανυσμάτων .


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 772
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Κριτήριο εγγραψιμότητας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Παρ Απρ 19, 2019 1:22 am

GEOMETRIA222=FB2947SOL.jpg
GEOMETRIA222=FB2947SOL.jpg (33.25 KiB) Προβλήθηκε 296 φορές
Συμπληρώνοντας το ισοσκελές τραπέζιο AQCF και ονομάζοντας τα τμήματα όπως στο σχήμα, έχουμε:

από τα όμοια τρίγωνα CBQ, CDF ότι a \cdot x= c \cdot y και

από παλιό γνωστό πρόβλημα d^2=c^2+ab Ταυτότητα στο τραπέζι(ο)

Αρα, d^2=c^2+ab=c^2+ab+cy-ax=c(c+y)+a(b-x) απόπου AC^2=AF \cdot AD + AE \cdot AB


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες