Σελίδα 1 από 1

Το εμβαδόν ακέραιος, ο λόγος άρρητος

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 16, 2019 12:45 am
από Γιώργος Μήτσιος
Χαιρετώ.
Το εμβαδόν ακέραιος,  ο λόγος άρρητος..PNG
Το εμβαδόν ακέραιος, ο λόγος άρρητος..PNG (10.98 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές
Το ημικύκλιο του σχήματος έχει διάμετρο AB=17 cm και χορδή BC=15 cm.


Το E ανήκει στο τόξο AC ώστε \left ( AEC \right )=4 cm^{2} και το I \in BE ώστε BI=3EI

Ι)Να υπολογιστεί το εμβαδόν \left ( CIA \right ) και ΙΙ) Να βρεθεί ο λόγος \dfrac{AI}{IC}

Για τον λόγο μπορείτε να πάρετε .. :) ..έτοιμο τον τύπο από άλλο πρόσφατο θέμα! Φιλικά Γιώργος.

Re: Το εμβαδόν ακέραιος, ο λόγος άρρητος

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 16, 2019 5:34 pm
από Doloros
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Μαρ 16, 2019 12:45 am
Χαιρετώ.
Το εμβαδόν ακέραιος, ο λόγος άρρητος..PNG
Το ημικύκλιο του σχήματος έχει διάμετρο AB=17 cm και χορδή BC=15 cm.


Το E ανήκει στο τόξο AC ώστε \left ( AEC \right )=4 cm^{2} και το I \in BE ώστε BI=3EI

Ι)Να υπολογιστεί το εμβαδόν \left ( CIA \right ) και ΙΙ) Να βρεθεί ο λόγος \dfrac{AI}{IC}

Για τον λόγο μπορείτε να πάρετε .. :) ..έτοιμο τον τύπο από άλλο πρόσφατο θέμα! Φιλικά Γιώργος.
Από το Π. Θ. έχω AC = 8 και άρα το ύψος του \vartriangle EAC είναι : EM = 1.

Επειδή τα τρίγωνα (17,15,8)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {\dfrac{{17}}{2},\dfrac{{15}}{2},4} \right) είναι όμοια αναγκαστικά η EM διέρχεται από το O.

Η BE διχοτομεί έτσι τη γωνία \widehat {CBA} . Αν οι AE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC τέμνονται στο D θα είναι

CD = 2 κι επειδή CD \cdot CB = CE \cdot CA \Rightarrow \boxed{ED = EC = EA = \sqrt {17} }.
Εμβαδόν ακέραιος λογος άρρητος.png
Εμβαδόν ακέραιος λογος άρρητος.png (39.07 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές
Από δω και μετά τα πράγματα απλοποιούνται :

\cos \theta  = \dfrac{8}{{17}}\,\,,\,\,EB = 4\sqrt {17} \,\,,EI = \sqrt {17} \,\,

Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC είναι :

r = \dfrac{{(ABC)}}{\tau } = \dfrac{{4 \cdot 15}}{{20}} = 3 . Εύκολα υπολογίζουμε ότι η απόσταση του {\rm I} από την AB είναι 3,

Έτσι το Ι είναι το έγκεντρο του ABC.

\boxed{(CIA) = \frac{1}{2}8r = 12} ενώ : \left\{ \begin{gathered} 
  A{I^2} = 2 \cdot 17 \hfill \\ 
  I{C^2} = E{C^2} + E{I^2} - 2EC \cdot EI\cos \theta  = 2 \cdot 9 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και άρα:

\dfrac{{I{A^2}}}{{I{C^2}}} = \dfrac{{17}}{9} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{IC}}{{IA}} = \dfrac{{\sqrt {17} }}{3}}