Μήκος τμήματος-17.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 4.png (5.77 KiB) Προβλήθηκε 664 φορές

Δίνεται τετράγωνο ABCD

πλευράς

και το μέσο

της

.

Αν $D_{1}$ το συμμετρικό του

ως προς τη

και $B_{1}$ το

συμμετρικό του

ως προς το $D_{1}$ , να υπολογίσετε το μήκος

του τμήματος $x=DB_{1}$ .

Ιστοσελίδα · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 27, 2019 12:19 am

Δίνεται τετράγωνο πλευράς και το μέσο της .

Αν $D_{1}$ το συμμετρικό του ως προς τη και $B_{1}$ το

συμμετρικό του ως προς το $D_{1}$ , να υπολογίσετε το μήκος

του τμήματος $x=DB_{1}$ .

Καλημέρα!

: shape.png (17.26 KiB) Προβλήθηκε 655 φορές

Θέτω

την πλευρά του τετραγώνου και $N \equiv BM \cap D{D_1}$

Από Π.Θ. στα $\triangle BAD, \triangle BMC$ , από τα όμοια $\triangle BMC, \triangle DMN$ και από τις δεδομένες συμμετρίες καταλήγουμε σε ένα θεώρημα διαμέσων στο $\triangle DB{B_1}$ , απ’ όπου παίρνουμε: $x = \dfrac{{6a\sqrt {10} }}{5}$

Εφαρμογή στο πρόβλημα για a = 5

, οπότε προκύπτει $x = 6\sqrt {10}$

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 27, 2019 12:19 am
4.png

Δίνεται τετράγωνο πλευράς και το μέσο της .

Αν $D_{1}$ το συμμετρικό του ως προς τη και $B_{1}$ το

συμμετρικό του ως προς το $D_{1}$ , να υπολογίσετε το μήκος

του τμήματος $x=DB_{1}$ .

Καλημέρα!

Έστω

το κέντρο του τετραγώνου. Τότε x=2OD_1.

: Μήκος τμήματος-17.png (19.96 KiB) Προβλήθηκε 642 φορές

Με Π.Θ στα $\displaystyle ABD,BCM$ βρίσκω $\displaystyle BD = 10\sqrt 2 ,BM = 5\sqrt 5$ και από το εγγράψιμο BCND,

$\displaystyle BM \cdot MN = CM \cdot MD \Leftrightarrow MN = \sqrt 5$ και $\displaystyle DN = 2\sqrt 5,$ οπότε $\displaystyle \cos \omega = \frac{{2\sqrt 5 }}{{10\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}$

$\displaystyle \cos 2\omega = 2{\cos ^2}\omega - 1 = - \frac{4}{5}$ και με νόμο συνημιτόνων στο OMD_1,

$\displaystyle O{D_1} = 3\sqrt {10} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=6\sqrt{10}}$

#4

: Μήκος τμήματος 17.png (29.77 KiB) Προβλήθηκε 629 φορές

Ας είναι

το σημείο τομής των $BM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ . Επειδή : BM = MZ

και

θα είναι $Z{B_1}// = 2M{D_1} = 2MD = 10$ .

Είναι ακόμα: $\widehat \xi = \widehat \phi = 45^\circ \,\,\,$ και λόγω συμμετρίας , $\widehat \phi = \widehat \theta$ , ενώ αφού $M{D_1}//Z{B_1}$ θα είναι .

Άρα $\boxed{\widehat \xi = \widehat \omega }$ που μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο $BDZ{B_1}$ είναι εγγράψιμο .

Είναι : $\left\{ \begin{gathered} DB = B{D_1} = {D_1}{B_1} = 10\sqrt 2 \hfill \\ BM = MZ = \sqrt {100 + 25} = 5\sqrt 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ οπότε από Θ. Πτολεμαίου στο $BDZ{B_1}$ :

$xBZ = DZ \cdot B{B_1} + AD \cdot Z{B_1} \Rightarrow \boxed{x = 6\sqrt {10} }$ .

Επιφυλάσσομαι για μια ακόμη λύση πιο στοιχειώδη ( αλλά με πιο βαρύ σχήμα-την "είδα" μετά που έγραψα τα πιο πάνω)

#5

: Μήκος τμήματος 17_new.png (29.9 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \tan \beta = \frac{1}{2} \hfill \\ \tan 2\beta = \frac{{2\tan \beta }}{{1 - {{\tan }^2}\beta }} = \frac{4}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} u = 8 \hfill \\ y = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Άρα : $x = \sqrt {{6^2} + {{18}^2}} = \sqrt {{6^2} \cdot 10} = 6\sqrt {10}$

Μήκος τμήματος-17.

Μήκος τμήματος-17.

Re: Μήκος τμήματος-17.

Re: Μήκος τμήματος-17.

Re: Μήκος τμήματος-17.

Re: Μήκος τμήματος-17.

Μέλη σε σύνδεση