Αυτοσχεδιασμός

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8155
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Αυτοσχεδιασμός

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 24, 2019 7:28 pm

Εδώ έχουμε μία πρωτότυπη άσκηση. Για την ακρίβεια δεν υπάρχουν ζητούμενα. Η άσκηση έχει μόνο δεδομένα.

Εσύ αποφασίζεις τι θέλεις να βρεις. Για να δούμε...
Αυτοσχεδιασμός.png
Αυτοσχεδιασμός.png (10.89 KiB) Προβλήθηκε 332 φορές
AM=5 είναι η διάμεσος οξυγώνιου τριγώνου ABC και AE=4, AF=2\sqrt 5 είναι οι προβολές της

πάνω στις AB, AC αντίστοιχα. Αυτοσχεδιάστε και βρείτε ό,τι θέλετε. Η άσκηση έχει πολλές δυνατότητες.

Και μην ανησυχείτε αν σας ξεφύγει κάτι. Είναι σίγουρο ότι θα το βρει κάποιος άλλος :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Αυτοσχεδιασμός

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Φεβ 24, 2019 7:52 pm

Εκδοχή  ζητουμένου.png
Εκδοχή ζητουμένου.png (11.5 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές
Προεκτείνω τα ύψη. Δείξτε ότι : BS=MT


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6567
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αυτοσχεδιασμός

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Φεβ 25, 2019 1:54 am

Ας είναι T το σημείο τομής των EM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC. Θέτω EB = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FC = y.

Από το Θ Πτολεμαίου στο εγγράψιμο τετράπλευρο AEMF έχω: AM \cdot EF = AE \cdot MF + AF \cdot ME \Rightarrow 5EF = 4\sqrt 5  + 6\sqrt 8  \Rightarrow EF = 2\sqrt 5  = AE.

Άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο AET η EF είναι διάμεσος προς υποτείνουσα και επομένως AF = FT = 2\sqrt 5 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,AM = MT = 5\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat \omega  = \widehat T.
Αυτοσχεδιασμός_1.png
Αυτοσχεδιασμός_1.png (18.77 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές
Από Θ Μενελάου στο \vartriangle ABC με διατέμνουσα EMT έχω:

\dfrac{{AE}}{{EB}} \cdot \dfrac{{BM}}{{MC}} \cdot \dfrac{{CT}}{{TA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{4}{x} \cdot 1 \cdot \dfrac{{CT}}{{4\sqrt 5 }} = 1 κι αφού CT = 2\sqrt 5  - y προκύπτει : y = (2 - x)\sqrt 5 \,\,\,(1)

Επειδή η διάμεσος AM χωρίζει το \vartriangle ABC σε ισοδύναμα μέρη έχω : 3(x + 4) = (2\sqrt 5  + y)\sqrt 5 \,\,\,(2) που λόγω της (1) προκύπτουν:

\boxed{x = 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = \sqrt 5 }

Μετά απ’ αυτά

Αυτοσχεδιασμός_2.png
Αυτοσχεδιασμός_2.png (28.27 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές


Ας είναι S το σημείο τομής των AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FM καθώς και K το σημείο τομής των AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ST.

Το τρίγωνο AST είναι ισοσκελές με κορυφή το S και το M είναι ορθόκεντρο αυτού , ενώ το ύψος SF είναι διχοτόμος τη γωνίας της κορυφής του .

MK = 3\,\,,\,\,KT = AE = 4.Από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο FMC προφανώς

\widehat {FCM} = 45^\circ  \Rightarrow MC = y\sqrt 2  = \sqrt {10}  \Rightarrow BC = 2\sqrt {10} . Από το εγγράψιμο τετράπλευρο

EMKS έχω: AE \cdot AS = AM \cdot AK \Rightarrow 4(4 + ES) = 5 \cdot 8 = 40 \Rightarrow ES = 6 = SK και BS = 6 - 1 = 5 = MT.

SM = \sqrt {9 + 36}  = 3\sqrt 5

Είναι προφανές δε ότι για όλα τα τρίγωνα του σχήματος μπορούμε να βρούμε όλα τα δευτερεύοντα στοιχεία τους και όχι μόνο .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης