Τετράγωνο και βαρύκεντρο

#1

: Τετράγωνο και βαρύκεντρο.png (12.56 KiB) Προβλήθηκε 772 φορές

Με διάμετρο την πλευρά AB=a

τετραγώνου ABCD

γράφουμε ημικύκλιο εντός του τετραγώνου που τέμνει τον κύκλο

(C,a)

στο

Αν

είναι το μέσο του GB,

να δείξετε ότι DG=AM

και ότι

είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου DAM.

Altrian · #2

Γιώργο καλησπέρα,

Εστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων με κέντρο το μέσο του

. Ετσι για τις κορυφές του τετραγώνου έχουμε:

A(-a/2,0), B(a/2,0), C(a/2,a), D(-a/2,a)

Οι δύο κύκλοι έχουν τις εξισώσεις:

$x^{2}+y^{2}=a^{2}/4$ (διαμέτρου

)

$\left ( x-a/2 \right )^{2}+\left ( y-a \right )^{2}=a^{2}$ o κύκλος (C,a)

Επιλύοντας το σύστημα παίρνουμε τις συντεταγμένες του κοινού σημείου G(-3a/10,4a/10)

. Τώρα έχουμε:

$M=\frac{G+B}{2}=(a/10,2a/10)$

DG=(2a/10,-6a/10)

Ευκολα βλέπουμε ότι $\left | DG \right |=\left | AM \right |$

Τέλος $\frac{A+D+M}{3}=(-3a/10,4a/10)=G$ που σημαίνει ότι το

είναι το βαρύκεντρο του $\bigtriangleup ADM$

Να σημειώσω τέλος ότι η λύση αυτή δεν μου άρεσε και θα προτιμούσα μια αμιγώς γεωμετρική.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 08, 2019 6:44 pm
Τετράγωνο και βαρύκεντρο.png
Με διάμετρο την πλευρά τετραγώνου γράφουμε ημικύκλιο εντός του τετραγώνου που τέμνει τον κύκλο

στο Αν είναι το μέσο του να δείξετε ότι και ότι είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου

$\displaystyle E{D^2} = E{A^2} = EG \cdot EB \Rightarrow ED = EA = \frac{a}{2}$

Άρα, $\displaystyle \tan \phi = \frac{{AG}}{{GB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{AG}}{{2GM}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \boxed{AG = GM = MB}$ οπότε $\displaystyle \vartriangle DGA = \vartriangle AMB \Rightarrow \boxed{DG = AM}$

$\displaystyle \tan \phi = \frac{1}{2} = \frac{{EG}}{{GA}} = \frac{{EG}}{{GM}}$ που αποδεικνύει το ζητούμενο

: t.k.b.png (28.63 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

Altrian · #4

Και μια γεωμετρική λύση:

Προεκτείνουμε την

η οποία προφανώς τέμνει την

στο αντιδιαμετρικό του

λόγω του ότι $\angle AGB=90$ .
$CG=CB=a\Rightarrow CM$ κάθετη στην

Τα τρίγωνα AEB,AGB,ABQ

είναι όμοια (ορθογώνια και μια γωνία ίση) με την μία κάθετη πλευρά να είναι διπλάσια της άλλης (με βάση το $\bigtriangleup ABE$ .
Εχουμε ότι $\bigtriangleup GDA=\bigtriangleup AMB$ γιατί:
MB=AG

,

και την περιεχόμενη γωνία ίση. Αρα DG=AM

δηλ.

διάμεσος του $\bigtriangleup ADM$ .
Επίσης $FG\left | \right |MC$ άρα η

διέρχεται από το μέσο της $DM\Rightarrow$

διάμεσος του $\bigtriangleup ADM$ .
Αρα το

ως σημείο τομής δύο διαμέσων είναι το βαρύκεντρο του $\bigtriangleup ADM$

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα! Γιώργο , Αλέξανδρε και Μιχάλη χαιρετώ. Ωραίο θέμα προσφέρεται για ποικιλία προσεγγίσεων!

: Τετράγωνο και βαρύκεντρο. 2PNG.PNG (10.98 KiB) Προβλήθηκε 687 φορές

Το

είναι το μέσον του

και

η τομή των BG,AD

. Τα

ισαπέχουν από τα B,G

άρα η

μεσοκάθετος του

Οι οξείες $\widehat{ABG},\widehat{DAG}$ είναι ίσες έχοντας κάθετες πλευρές , για τον ίδιο λόγο $\widehat{ABG}=\widehat{BCO}=\omega$

Έχουμε $\varepsilon \varphi \omega =OB/BC=1/2$ οπότε AG=BG/2=BM

και από τα ίσα τρίγωνα DAG,MAB

έπεται

.

Ακόμη IA=a/2

και

δηλ. στο τρίγωνο DAM

η

διάμεσος με το

βαρύκεντρο του τριγώνου.
Φιλικά Γιώργος.

Τετράγωνο και βαρύκεντρο

Τετράγωνο και βαρύκεντρο

Re: Τετράγωνο και βαρύκεντρο

Re: Τετράγωνο και βαρύκεντρο

Re: Τετράγωνο και βαρύκεντρο

Re: Τετράγωνο και βαρύκεντρο

Μέλη σε σύνδεση