Τετράγωνο και βαρύκεντρο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9212
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Τετράγωνο και βαρύκεντρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 08, 2019 6:44 pm

Τετράγωνο και βαρύκεντρο.png
Τετράγωνο και βαρύκεντρο.png (12.56 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές
Με διάμετρο την πλευρά AB=a τετραγώνου ABCD γράφουμε ημικύκλιο εντός του τετραγώνου που τέμνει τον κύκλο

(C,a) στο G. Αν M είναι το μέσο του GB, να δείξετε ότι DG=AM και ότι G είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου DAM.



Λέξεις Κλειδιά:
Altrian
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Τετράγωνο και βαρύκεντρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Φεβ 08, 2019 8:19 pm

Γιώργο καλησπέρα,

Εστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων με κέντρο το μέσο του AB. Ετσι για τις κορυφές του τετραγώνου έχουμε:

A(-a/2,0), B(a/2,0), C(a/2,a), D(-a/2,a)

Οι δύο κύκλοι έχουν τις εξισώσεις:

x^{2}+y^{2}=a^{2}/4 (διαμέτρου AB)

\left ( x-a/2 \right )^{2}+\left ( y-a \right )^{2}=a^{2} o κύκλος (C,a)

Επιλύοντας το σύστημα παίρνουμε τις συντεταγμένες του κοινού σημείου G(-3a/10,4a/10). Τώρα έχουμε:

M=\frac{G+B}{2}=(a/10,2a/10)

DG=(2a/10,-6a/10)

AM=(6a/10,2a/10)

Ευκολα βλέπουμε ότι \left | DG \right |=\left | AM \right |

Τέλος \frac{A+D+M}{3}=(-3a/10,4a/10)=G που σημαίνει ότι το G είναι το βαρύκεντρο του \bigtriangleup ADM

Να σημειώσω τέλος ότι η λύση αυτή δεν μου άρεσε και θα προτιμούσα μια αμιγώς γεωμετρική.


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1811
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τετράγωνο και βαρύκεντρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Φεβ 08, 2019 11:17 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Φεβ 08, 2019 6:44 pm
Τετράγωνο και βαρύκεντρο.png
Με διάμετρο την πλευρά AB=a τετραγώνου ABCD γράφουμε ημικύκλιο εντός του τετραγώνου που τέμνει τον κύκλο

(C,a) στο G. Αν M είναι το μέσο του GB, να δείξετε ότι DG=AM και ότι G είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου DAM.

\displaystyle E{D^2} = E{A^2} = EG \cdot EB \Rightarrow ED = EA = \frac{a}{2}

Άρα, \displaystyle \tan \phi  = \frac{{AG}}{{GB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{AG}}{{2GM}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \boxed{AG = GM = MB} οπότε \displaystyle \vartriangle DGA = \vartriangle AMB \Rightarrow \boxed{DG = AM}

\displaystyle \tan \phi  = \frac{1}{2} = \frac{{EG}}{{GA}} = \frac{{EG}}{{GM}} που αποδεικνύει το ζητούμενο
t.k.b.png
t.k.b.png (28.63 KiB) Προβλήθηκε 385 φορές


Altrian
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Τετράγωνο και βαρύκεντρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Φεβ 08, 2019 11:23 pm

Και μια γεωμετρική λύση:

Προεκτείνουμε την AG η οποία προφανώς τέμνει την BC στο αντιδιαμετρικό του B λόγω του ότι \angle AGB=90.
CG=CB=a\Rightarrow CM κάθετη στην GB

Τα τρίγωνα AEB,AGB,ABQ είναι όμοια (ορθογώνια και μια γωνία ίση) με την μία κάθετη πλευρά να είναι διπλάσια της άλλης (με βάση το \bigtriangleup ABE.
Εχουμε ότι \bigtriangleup GDA=\bigtriangleup AMB γιατί:
MB=AG, AB=AD=a και την περιεχόμενη γωνία ίση. Αρα DG=AM

AQ=a/2 δηλ. MQ διάμεσος του \bigtriangleup ADM.
Επίσης FG\left | \right |MC άρα η FG διέρχεται από το μέσο της DM\Rightarrow AG διάμεσος του\bigtriangleup ADM.
Αρα το G ως σημείο τομής δύο διαμέσων είναι το βαρύκεντρο του \bigtriangleup ADM
Συνημμένα
ορθογωνιο2.png
ορθογωνιο2.png (106.2 KiB) Προβλήθηκε 381 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1257
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τετράγωνο και βαρύκεντρο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Φεβ 09, 2019 12:28 am

Καλημέρα! Γιώργο , Αλέξανδρε και Μιχάλη χαιρετώ. Ωραίο θέμα προσφέρεται για ποικιλία προσεγγίσεων!
Τετράγωνο  και βαρύκεντρο. 2PNG.PNG
Τετράγωνο και βαρύκεντρο. 2PNG.PNG (10.98 KiB) Προβλήθηκε 366 φορές
Το O είναι το μέσον του AB και I η τομή των BG,AD . Τα C,O ισαπέχουν από τα B,G άρα η CMO μεσοκάθετος του BG

Οι οξείες \widehat{ABG},\widehat{DAG} είναι ίσες έχοντας κάθετες πλευρές , για τον ίδιο λόγο \widehat{ABG}=\widehat{BCO}=\omega

Έχουμε \varepsilon \varphi \omega =OB/BC=1/2 οπότε AG=BG/2=BM και από τα ίσα τρίγωνα DAG,MAB έπεται AM=DG.

Ακόμη IA=a/2 και IG=AG/2=GM/2 δηλ. στο τρίγωνο DAM η MI διάμεσος με το G βαρύκεντρο του τριγώνου.
Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης