Ανισότητα σε ισοσκελές τραπέζιο

sakis1963 · #1

: FB2703c mathematica.jpg (17.49 KiB) Προβλήθηκε 682 φορές

Σε ισοσκελές τραπέζιο ABCD, AB=a//CD=c

τα ίσα σκέλη είναι $AD=BC=b=\dfrac{a+c}{2}$

Αν $I\equiv AC\cap BD$ , δείξτε οτι $\hat{AIB}>90^o$

#2

sakis1963 έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:51 pm
FB2703c mathematica.jpg

Σε ισοσκελές τραπέζιο τα ίσα σκέλη είναι $AD=BC=b=\dfrac{a+c}{2}$

Αν $I\equiv AC\cap BD$ , δείξτε οτι $\hat{AIB}>90^o$

Γεια σου Σάκη!

: Ανισότητα σε ισοσκελές τραπέζιο.png (11.97 KiB) Προβλήθηκε 655 φορές

$\displaystyle AE = \frac{{a - c}}{2} \Rightarrow D{E^2} = {b^2} - \frac{{{{(a - c)}^2}}}{4} = \frac{{{{(a + c)}^2}}}{4} - \frac{{{{(a - c)}^2}}}{4} = ac$

$\displaystyle EB = a - \frac{{a - c}}{2} = \frac{{a + c}}{2} = b \Rightarrow B{D^2} = ac + {b^2}$

$\displaystyle {\cos ^2}\frac{\varphi }{2} = \frac{{ac}}{{ac + {b^2}}} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\frac{\varphi }{2} - 1 = \frac{{2ac}}{{ac + {b^2}}} - 1 \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{{ac - {b^2}}}{{ac + {b^2}}} = - \frac{{A{E^2}}}{{ac + {b^2}}} < 0$

και το ζητούμενο έπεται.

sakis1963 · #3

Γεια σου, Γιώργο!

Λίγο διαφορετικά (πιο chic), χρησιμοποιώντας τα "ευρήματα" και το σχήμα του Γιώργου.

$DE=\sqrt{ac}=GM(a,c)$ , και $EB=\dfrac{a+c}{2}=AM(a,c)$

Ομως $tan(\hat{IBE})=\dfrac{DE}{EB}=\dfrac{GM(a, c)}{AM(a, c)}<1$ απόπου $\hat{IBE}<45^o$ και το ζητούμενο έπεται

Σημείωση: υπάρχει κ αμιγώς γεωμετρική λύση

#4

sakis1963 έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:30 pm

Σημείωση: υπάρχει κ αμιγώς γεωμετρική λύση

Χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα ευρήματα και το σχήμα. $\displaystyle \frac{{BI}}{{BD}} = \frac{{BM}}{{BE}} \Leftrightarrow BI = \frac{{aBD}}{{2b}}.$ Θα δείξω ότι:

$\displaystyle {a^2} > B{I^2} + A{I^2} = 2B{I^2} \Leftrightarrow {a^2} > \frac{{2{a^2}(ac + {b^2})}}{{4{b^2}}} \Leftrightarrow 2{b^2} > ac + {b^2} \Leftrightarrow {b^2} > ac \Leftrightarrow AD > DE$

που ισχύει.

#5

Καλησπέρα σε όλους.

: 19-01-2019 Γεωμετρία.jpg (34.41 KiB) Προβλήθηκε 628 φορές

Έστω

η διάμεσος του τραπεζίου, οπότε $\displaystyle KL = \frac{{a + c}}{2} = b$

Στο ισοσκελές, λογω συμμετρίας, τρίγωνο KLI

είναι $\displaystyle KI + IL > KL \Rightarrow KI > \frac{b}{2}$ , οπότε $\displaystyle \widehat {AID} < 90^\circ \Rightarrow \widehat {AIB} > 90^\circ$

Ανισότητα σε ισοσκελές τραπέζιο

Ανισότητα σε ισοσκελές τραπέζιο

Re: Ανισότητα σε ισοσκελές τραπέζιο

Re: Ανισότητα σε ισοσκελές τραπέζιο

Re: Ανισότητα σε ισοσκελές τραπέζιο

Re: Ανισότητα σε ισοσκελές τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση