Σταθερό σημείο σε εγγεγραμμένο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
spege
Δημοσιεύσεις: 257
Εγγραφή: Δευ Απρ 27, 2009 10:24 pm

Σταθερό σημείο σε εγγεγραμμένο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spege » Κυρ Ιαν 06, 2019 9:27 am

Έστω ΑΒCD εγγεγραμμένο τετράπλευρο σε κύκλο (J,R).Αν Ε το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC, F του BCD, H του ADB και G του ADC τότε
ι) Τα τετράπλευρα ABFG,AEFD,BCGH,DCEH είναι παραλληλόγραμμα
ιι) Τα παραλληλόγραμμα αυτά έχουν κοινό κέντρο ,έστω Ι
ιιι) Το σημείο Ι είναι κοινό σημείο των τεσσάρων κύκλων Euler των τριγώνων ABC,BCD,ADB,ADC ,οι οποίοι είναι ίσοι
ιν) Το τετράπλευρο HEFG είναι ίσο με το ABCD με αντίστοιχα ορθόκεντρα των τεσσάρων τριγώνων του τα A,B,C,D
ν) Η ευθεία Simson των τεσσάρων προηγουμένων τριγώνων με σημείο προβολών το τέταρτο σημείο του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου διέρχεται από το σημείο Ι
νι) Τα κέντρα των τεσσάρων κύκλων Euler ανήκουν στο κύκλο (Ι,R/2)
τελευταία επεξεργασία από spege σε Κυρ Ιαν 27, 2019 12:42 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Σταθερό σημείο σε εγγεγραμμένο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Ιαν 17, 2019 8:56 am

ΛΙΓΟ ΑΡΓΟΤΕΡΑ


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Σταθερό σημείο σε εγγεγραμμένο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Ιαν 17, 2019 10:01 am

ΛΙΓΟ ΑΡΓΟΤΕΡA
i)Εστω \displaystyle{J(0,0)} Τοτε \displaystyle{z_E=z_A+z_B+z_C,z_F=z_D+z_B+z_C,z_H=z_A+z_B+z_D,z_G=z_A+z_D+z_C}

\displaystyle{z_A-z_B=z_G-z_F} άρα ABFG # ομοίως τα άλλα 3

ii)\displaystyle{z_I=\frac{z_A+z_F}{2}=1/2(z_D+z_B+z_C+z_A) } ομοίως τα άλλα 3

iii)O κυκλος Euler ABC εχει κεντρο το \displaystyle{1/2z_E} και ακτινα \displaystyle{R/2=|z_D|=|z_A|=|z_B|=|z_C|}έχει εξίσωση \displaystyle{ |z-1/2(z_A+z_B+z_C)|=R/2 } αρκεί \displaystyle{|z_I-1/2(z_A+z_B+z_C)|=R/2} που είναι προφανες μετα την αντικατάσταση του
\displaystyle{z_I}(\displaystyle{R=} ακτινα του κύκλου \displaystyle{ABCD} )

iv)αρκεί \displaystyle{z_A-z_B=z_G-z_F,z_B-z_C=z_H-z_G} ομοίως τα άλλα 2 που ισχύει

v)Αν ο κυκλος \displaystyle{ABCD} θεωρηθει μοναδιαίος και \displaystyle{P,Q,S} οι προβολες του \displaystyle{D} αντιστοιχως σις \displaystyle{AB,BC,CA} τότε \displaystyle{2z_P=z_A+z_B+z_C-z_Bz_A/z_C} και ομοια τα \displaystyle{Q,S} που μετα τις αντικαταστάσεις και λίγες πράξεις καταλήγει στην \displaystyle{(z_B-z_C)(z_A-z_D)/(z_A-z_C)(z_B-z_C) \in R} που ισχυει διότι το \displaystyle{ABCD} είναι εγγράψιμο

vi))κεντρο κυκλoυ Euler \displaystyle{z_E/2} τότε \displaystyle{|z_E/2-z_I|=|z_D|/2=R/2}

Οι προτάσεις που χρησιμοποίησα βρίσκονται στο βιβλίο μου Μιγαδικοί αριθμοί και μετ/μοί Mobius σελιδες 96,98,106 και υπάρχουν στο MATHEMATICA.gr και στο lysari


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Σταθερό σημείο σε εγγεγραμμένο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Ιαν 18, 2019 11:02 am

oi προτάσεις που χρησιμοποίησα στο προηγούμενο post

a) αν ο κύκλος \displaystyle{ABC} είναι ο μοναδιαίος τότε το ορθόκεντρο είναι το \displaystyle{a+b+c} Σε τρίγωνο \displaystyle{A(a),B(b),C(c)} του μιγαδικού επιπέδου

β)Αν το τετράπλευρο \displaystyle{ABCD} είναι εγγράψιμο τότε \displaystyle{(a-c)(b-d)/(b-c)(a-d)\in R}

c) Το ίχνος της καθέτου \displaystyle{CP,(p)\in AB} προς την χορδή \displaystyle{AB} του μοναδιαίου κύκλου \displaystyle{CAB} είναι \displaystyle{p=1/2(a+b+c-ab/c)}

d)οι μιγαδικοί αντιστοιχούν σε διανύσματα ΘΕΣΗΣ

e)To κέντρο του κύκλου Euler βρίσκεται στο μέσον της \displaystyle{OH} όπου \displaystyle{H} το ορθόκεντρο και \displaystyle{O} το περίκεντρο τριγώνου \displaystyle{ABC} και έχει ακτίνα \displaystyle{R/2} με \displaystyle{R} την ακτίνα του κύκλου \displaystyle{ABC}

f) Συνευθειακά σημεία \displaystyle{A,B,C a-b/a-c\in R}


Άβαταρ μέλους
spege
Δημοσιεύσεις: 257
Εγγραφή: Δευ Απρ 27, 2009 10:24 pm

Re: Σταθερό σημείο σε εγγεγραμμένο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spege » Κυρ Ιαν 27, 2019 12:43 pm

Ωραία λύση Ροδόλφε ...μη Ευκλείδεια


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες