Οι 30άρες δίνουν λόγο

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλησπέρα στο !!

: Οι 30άρες δίνουν λόγο.PNG (6.66 KiB) Προβλήθηκε 845 φορές

Το τρίγωνο ABC

του σχήματος έχει $\widehat{B}=\widehat{C}=30^{0}$

Θεωρούμε το σημείο $H \in BC$ και τα $M \in AB ..N \in AC$ ώστε $HM \perp AB$ και $HN \perp AC$ . Αν είναι BC=4MN

τότε

Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left (NHMA \right )}$ . Σημείωση: Το σχήμα δεν είναι ακριβές..
Ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 18, 2018 5:38 pm
Καλησπέρα στο !!
Οι 30άρες δίνουν λόγο.PNG
Το τρίγωνο του σχήματος έχει $\widehat{B}=\widehat{C}=30^{0}$

Θεωρούμε το σημείο $H \in BC$ και τα $M \in AB ..N \in AC$ ώστε $HM \perp AB$ και $HN \perp AC$ . Αν είναι τότε

Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left (NHMA \right )}$ . Σημείωση: Το σχήμα δεν είναι ακριβές..
Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλησπέρα!

: Οι 30αρες δίνουν λόγο.png (14.23 KiB) Προβλήθηκε 831 φορές

$\displaystyle HM = \frac{{BH}}{2},HN = \frac{{HC}}{2} \Rightarrow HM + HN = \frac{{BC}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{HM + HN = 2MN}$ (1)

Ν. συνημιτόνου στο HMN:

$\displaystyle M{N^2} = H{M^2} + H{N^2} - HM \cdot HN = {(HM + HN)^2} - 3HM \cdot HN\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} M{N^2} = HM \cdot HN$

Άρα, $\displaystyle H{M^2} + H{N^2} - 2HM \cdot HN = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{HM=HN}$ και $\boxed{MN||BC}$

$\displaystyle \frac{{(BAC)}}{{(NHMA)}} = \frac{{AH \cdot BC}}{{AH \cdot MN}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{(BAC)}}{{(NHMA)}} = 4}$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό απόγευμα σε όλους. Σ' ευχαριστώ Γιώργο για την άμεση τακτοποίηση του θέματος !
Στη συνέχεια έχει (αυξημένο κατά τη γνώμη μου ) ενδιαφέρον να .. αφήσουμε τις 30άρες για χάρη της 18άρας και της 54άρας του θέματος που ακολουθεί.
Μόνο που για να $\Phi$ τάσει κανείς στη λύση δεν μπορεί να επιλέξει μία, αλλά πρέπει να ασχοληθεί και με τις δύο .. γωνίες !

: 18άρα και ..54άρα.PNG (6.48 KiB) Προβλήθηκε 776 φορές

Το τρίγωνο ABC

του νέου σχήματος έχει $\widehat{C}=18^{0} ...\widehat{B}=54^{0}$ .Θεωρούμε το σημείο $ο H \in BC$ και τα $M \in AB ..N \in AC$

ώστε $HM \perp AB$ και $HN \perp AC.$ Αν είναι BC=4MN

τότε

Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left 8( NHMA \right )}{\left (BAC \right )}$ . Το σχήμα εδώ είναι ακριβές..
Ευχαριστώντας ξανά , Γιώργος.

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 19, 2018 4:50 pm
Καλό απόγευμα σε όλους. Σ' ευχαριστώ Γιώργο για την άμεση τακτοποίηση του θέματος !
Στη συνέχεια έχει (αυξημένο κατά τη γνώμη μου ) ενδιαφέρον να .. αφήσουμε τις 30άρες για χάρη της 18άρας και της 54άρας του θέματος που ακολουθεί.
Μόνο που για να $\Phi$ τάσει κανείς στη λύση δεν μπορεί να επιλέξει μία, αλλά πρέπει να ασχοληθεί και με τις δύο .. γωνίες !
18άρα και ..54άρα.PNG
Το τρίγωνο του νέου σχήματος έχει $\widehat{C}=18^{0} ...\widehat{B}=54^{0}$ .Θεωρούμε το σημείο $ο H \in BC$ και τα $M \in AB ..N \in AC$

ώστε $HM \perp AB$ και $HN \perp AC.$ Αν είναι τότε

Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left 8( NHMA \right )}{\left (BAC \right )}$ . Το σχήμα εδώ είναι ακριβές..
Ευχαριστώντας ξανά , Γιώργος.

Φέρνω το ύψος

και τις κάθετες $HM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HN\,\,$ στις $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ αντίστοιχα.

Από το εγράψιμμο τετράπλευρο AMHN

έχω ότι

και

$\vartriangle NMH \to (36^\circ ,72^\circ ,72^\circ )$ . Θέτω $NM + NH = x\,\,( = R\,)\,,\,MH = y\,\,( = {\lambda _{10}})\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AH = h$

Θα ισχύουν

$\left\{ \begin{gathered} a = BH + HC = \dfrac{y}{{\sin 54^\circ }} + \dfrac{x}{{\sin 18^\circ }} \hfill \\ y = \dfrac{{x\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{4x = a}$

: Οι τριαντάρες_extra.png (27.18 KiB) Προβλήθηκε 739 φορές

Δηλαδή ο πόδας του ύψους από το

του $\vartriangle ABC$ είναι το ζητούμενο σημείο

.

Τώρα το (AMHN) = (AMH) + (ANH)

. Αλλά

$2(AMH) + 2(ANH) = \left( {y \cdot h\sin 54^\circ } \right) + \left( {x \cdot h\sin 18^\circ } \right) = h(x\sin 18^\circ + y\sin 54^\circ )$

Δηλαδή $8(AMHN) = 4h(x\sin 18^\circ + y\sin 54^\circ )$ ή

$8(AMHN) = \dfrac{{ah}}{2}\varphi \Rightarrow \boxed{\frac{{8(AMHN)}}{{(ABC)}} = \varphi }$

Οι 30άρες δίνουν λόγο

Οι 30άρες δίνουν λόγο

Re: Οι 30άρες δίνουν λόγο

Re: Οι 30άρες δίνουν λόγο

Re: Οι 30άρες δίνουν λόγο

Μέλη σε σύνδεση