Κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7298
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 06, 2018 1:20 pm

Κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά.png
Κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά.png (17.53 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές
\bigstar Δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά στο A και μία τυχαία ευθεία τους τέμνει διαδοχικά

στα σημεία B, C, D, E. Να δείξετε ότι \displaystyle \frac{{BC}}{{DE}} = \frac{{AB \cdot AC}}{{AD \cdot AE}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 46
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Πέμ Δεκ 06, 2018 4:12 pm

Φέρνω την κάθετη AF. Θα είναι τότε

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
{BC \over DE} &= {BC \cdot AF \over DE  \cdot AF}  = {(ABC) \over (ADE)} \cr 
                     &= {AB \cdot HC \over AE  \cdot DG} = {AB \cdot AC \cdot \tan(A_1) \over AE  \cdot AD \cdot \tan(A_2)}  
\end{aligned} 
}

αρκεί να αποδείξουμε λοιπόν ότι \angle A_1 = \angle A_2 ή ότι τοξο MC = τόξο ID,
δηλαδή να αποδείξουμε ότι IM \parallel BE.

Αυτό ισχύει αν θεωρήσουμε γνωστό το λήμμα:
'Εστω δυο κύκλοι O_1, O_2 που εφάπτονται εσωτερικά (ή εξωτερικά) στο σημείο A και δύο ευθείες e_1, e_2
που δίερχονται από αυτό το σημείο. Τότε αν B=e_1 \cap O_1, C=e_1 \cap O_2 και D=e_2 \cap O_1, E=e_2 \cap O_2
θα είναι BD \parallel CE.

Δεν γνωρίζω αν υπάρχει και που διατύπωση τέτοιου λήμματος αλλά η απόδειξή του δεν πρέπει
να παρουσιάζει δυσκολία.
Συνημμένα
tangentcircle.png
tangentcircle.png (401.85 KiB) Προβλήθηκε 75 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1490
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Δεκ 06, 2018 6:08 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Δεκ 06, 2018 1:20 pm
Κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά.png
\bigstar Δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά στο A και μία τυχαία ευθεία τους τέμνει διαδοχικά

στα σημεία B, C, D, E. Να δείξετε ότι \displaystyle \frac{{BC}}{{DE}} = \frac{{AB \cdot AC}}{{AD \cdot AE}}

\displaystyle \angle ACD = \angle ALM = \angle DAx (υπό χορδής-εφαπτόμενης για τους δυο κύκλους)

Άρα \displaystyle LM//BE \Rightarrow BLME ισοσκελές τραπέζιο ,επομένως οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες και λόγω

της προφανούς ισότητας των μπλε και πράσινων γωνιών από τα τρίγωνα \displaystyle BLA,MEA θα είναι \displaystyle \angle BAC = \angle EAD

\displaystyle \boxed{\frac{{\left( {ABC} \right)}}{{\left( {EAD} \right)}} = \frac{{BC}}{{DE}} = \frac{{BA \cdot AC}}{{AD \cdot AE}}}
K.E.E.png
K.E.E.png (23.9 KiB) Προβλήθηκε 56 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης