Κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά

#1

: Κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά.png (17.53 KiB) Προβλήθηκε 866 φορές

$\bigstar$ Δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά στο

και μία τυχαία ευθεία τους τέμνει διαδοχικά

στα σημεία B, C, D, E.

Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{BC}}{{DE}} = \frac{{AB \cdot AC}}{{AD \cdot AE}}$

nickchalkida · #2

Φέρνω την κάθετη

. Θα είναι τότε

$\displaystyle{ \begin{aligned} {BC \over DE} &= {BC \cdot AF \over DE \cdot AF} = {(ABC) \over (ADE)} \cr &= {AB \cdot HC \over AE \cdot DG} = {AB \cdot AC \cdot \tan(A_1) \over AE \cdot AD \cdot \tan(A_2)} \end{aligned} }$

αρκεί να αποδείξουμε λοιπόν ότι $\angle A_1 = \angle A_2$ ή ότι τοξο

= τόξο

,
δηλαδή να αποδείξουμε ότι $IM \parallel BE$ .

Αυτό ισχύει αν θεωρήσουμε γνωστό το λήμμα:
'Εστω δυο κύκλοι O_1

,

που εφάπτονται εσωτερικά (ή εξωτερικά) στο σημείο

και δύο ευθείες e_1

,

που δίερχονται από αυτό το σημείο. Τότε αν $B=e_1 \cap O_1$ , $C=e_1 \cap O_2$ και $D=e_2 \cap O_1$ , $E=e_2 \cap O_2$
θα είναι $BD \parallel CE$ .

Δεν γνωρίζω αν υπάρχει και που διατύπωση τέτοιου λήμματος αλλά η απόδειξή του δεν πρέπει
να παρουσιάζει δυσκολία.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 06, 2018 1:20 pm
Κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά.png
$\bigstar$ Δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά στο και μία τυχαία ευθεία τους τέμνει διαδοχικά

στα σημεία Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{BC}}{{DE}} = \frac{{AB \cdot AC}}{{AD \cdot AE}}$

$\displaystyle \angle ACD = \angle ALM = \angle DAx$ (υπό χορδής-εφαπτόμενης για τους δυο κύκλους)

Άρα $\displaystyle LM//BE \Rightarrow BLME$ ισοσκελές τραπέζιο ,επομένως οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες και λόγω

της προφανούς ισότητας των μπλε και πράσινων γωνιών από τα τρίγωνα $\displaystyle BLA,MEA$ θα είναι $\displaystyle \angle BAC = \angle EAD$

$\displaystyle \boxed{\frac{{\left( {ABC} \right)}}{{\left( {EAD} \right)}} = \frac{{BC}}{{DE}} = \frac{{BA \cdot AC}}{{AD \cdot AE}}}$

: K.E.E.png (23.9 KiB) Προβλήθηκε 831 φορές

Κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά

Κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά

Re: Κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά

Re: Κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά

Μέλη σε σύνδεση