Χρυσός λόγος σε ισόπλευρο τρίγωνο

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA216-FB2535.png (51.42 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

Εστω

η προβολή του μέσου

της πλευράς

ισοπλεύρου τριγώνου ABC

, πάνω στην

και

σημείο της

ώστε

.

Αν η ευθεία που ενώνει τα μέσα T, P

των

αντίστοιχα, τέμνει τις DE, AM

στα

αντίστοιχα, δείξτε ότι:

α. $\dfrac{QS}{ST}-\dfrac{PQ}{QT}=1$

β. $\dfrac{AD}{ME}=\phi$

STOPJOHN · #2

sakis1963 έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 02, 2018 1:08 pm
GEOMETRIA216-FB2535.png
Εστω η προβολή του μέσου της πλευράς ισοπλεύρου τριγώνου , πάνω στην και σημείο της ώστε .

Αν η ευθεία που ενώνει τα μέσα των αντίστοιχα, τέμνει τις στα αντίστοιχα, δείξτε ότι:

α. $\dfrac{QS}{ST}-\dfrac{PQ}{QT}=1$

β. $\dfrac{AD}{ME}=\phi$

α) Κατασκευάζω $OP//BC//SG//T\Pi ,DZ\perp BC,$

Από το ορθογώνιο τρίγωνο $AMB,MD\perp AB,MB^{2}=BD.AB,BD=\dfrac{a}{4},AD=\dfrac{3a}{4},DM=\frac{a\sqrt{3}}{4},AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Θεώρημα του Stweart

στο τρίγωνο

$BDE,BM.(DE)^{2}+ME(BD)^{2}=BE ((DM)^{2}+BM.ME)\Leftrightarrow 16(ME)^{2} +12(ME)- 9a^{2}=0\Leftrightarrow ME=\dfrac{3a}{8}(\sqrt{5}-1),(1)$

$T\Pi M, \hat{\Pi TM}=30^{0},T\Pi =\dfrac{3a}{16},(2), M\Pi =\dfrac{a\sqrt{3}}{16},(3)$

Από τα όμοια τρίγωνα

$QOP,QT\Pi ,\dfrac{QP}{QT}=\dfrac{OP}{T\Pi }\Rightarrow \dfrac{QP}{QT}=\sqrt{5}-1,(*)$

εφόσον είναι $OP=\dfrac{ME}{2}\Rightarrow OP=\dfrac{3a}{16}(\sqrt{5}-1)$

Στο τρίγωνο QTM

με τέμνουσα DSJ

από το θεώρημα του Μενελάου

$\dfrac{QS}{ST}.\dfrac{DT}{DM}.\dfrac{MJ}{JQ}=1\Rightarrow \dfrac{QS}{TS}=2.\dfrac{JQ}{MJ},(**)$

$OP//T\Pi ,\dfrac{QP}{QT}=\dfrac{QO}{Q\Pi }\Rightarrow \dfrac{QO}{Q\Pi }=\sqrt{5}-1,(4),$

λόγω της (*)

$OQ+Q\Pi =O\Pi =OM-M\Pi =\dfrac{3\sqrt{3}a}{16},(5), (4),(5)\Rightarrow Q\Pi =\dfrac{3\sqrt{3}a} {16\sqrt{5}},OQ=\dfrac{3\sqrt{3}a(\sqrt{5}-1)}{16\sqrt{5}}, MQ=OM-OQ=\dfrac{a\sqrt{3}}{16\sqrt{5}}.(\sqrt{5}+3), JM//DZ,\dfrac{JM}{DZ}=\dfrac{ME}{EZ}\Rightarrow JM=\dfrac{a\sqrt{3} (\sqrt{5}-1)}{8\sqrt{5}}, JQ=MQ- MJ=\dfrac{a\sqrt{3}(5-\sqrt{5})}{16\sqrt{5}},$ ,

γιατί στο ορθογώνιο τρίγωνο

$BDM,DZ=\dfrac{a\sqrt{3}}{8},BZ=\dfrac{a}{8},ZM=\dfrac{3a}{8}, \dfrac{QS}{ST}-\dfrac{PQ}{QT}=\dfrac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}-(\sqrt{5}-1)=1$

β)
Από το πρώτο ερώτημα ειναι

$AD=\dfrac{3a}{4},ME=\dfrac{3a}{8}(\sqrt{5}-1),\dfrac{AD}{ME}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}=\varphi$

Γιάννης

Χρυσός λόγος σε ισόπλευρο τρίγωνο

Χρυσός λόγος σε ισόπλευρο τρίγωνο

Re: Χρυσός λόγος σε ισόπλευρο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση