Χρυσός λόγος σε ισόπλευρο τρίγωνο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 733
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Χρυσός λόγος σε ισόπλευρο τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Κυρ Δεκ 02, 2018 1:08 pm

GEOMETRIA216-FB2535.png
GEOMETRIA216-FB2535.png (51.42 KiB) Προβλήθηκε 119 φορές
Εστω D η προβολή του μέσου M της πλευράς BC ισοπλεύρου τριγώνου ABC, πάνω στην AB και E σημείο της BC ώστε DE=AM.

Αν η ευθεία που ενώνει τα μέσα T, P των DM, AE αντίστοιχα, τέμνει τις DE, AM στα S, Q αντίστοιχα, δείξτε ότι:

α. \dfrac{QS}{ST}-\dfrac{PQ}{QT}=1

β. \dfrac{AD}{ME}=\phi


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1708
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Χρυσός λόγος σε ισόπλευρο τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Δεκ 06, 2018 1:42 pm

sakis1963 έγραψε:
Κυρ Δεκ 02, 2018 1:08 pm
GEOMETRIA216-FB2535.png
Εστω D η προβολή του μέσου M της πλευράς BC ισοπλεύρου τριγώνου ABC, πάνω στην AB και E σημείο της BC ώστε DE=AM.

Αν η ευθεία που ενώνει τα μέσα T, P των DM, AE αντίστοιχα, τέμνει τις DE, AM στα S, Q αντίστοιχα, δείξτε ότι:

α. \dfrac{QS}{ST}-\dfrac{PQ}{QT}=1

β. \dfrac{AD}{ME}=\phi

α) Κατασκευάζω OP//BC//SG//T\Pi ,DZ\perp BC,

Από το ορθογώνιο τρίγωνο AMB,MD\perp AB,MB^{2}=BD.AB,BD=\dfrac{a}{4},AD=\dfrac{3a}{4},DM=\frac{a\sqrt{3}}{4},AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}

Θεώρημα του Stweart στο τρίγωνο

BDE,BM.(DE)^{2}+ME(BD)^{2}=BE ((DM)^{2}+BM.ME)\Leftrightarrow 16(ME)^{2} +12(ME)-

9a^{2}=0\Leftrightarrow ME=\dfrac{3a}{8}(\sqrt{5}-1),(1)

T\Pi M, \hat{\Pi TM}=30^{0},T\Pi =\dfrac{3a}{16},(2), M\Pi =\dfrac{a\sqrt{3}}{16},(3)

Από τα όμοια τρίγωνα

QOP,QT\Pi ,\dfrac{QP}{QT}=\dfrac{OP}{T\Pi }\Rightarrow \dfrac{QP}{QT}=\sqrt{5}-1,(*)


εφόσον είναι OP=\dfrac{ME}{2}\Rightarrow OP=\dfrac{3a}{16}(\sqrt{5}-1)

Στο τρίγωνο QTM με τέμνουσα DSJ από το θεώρημα του Μενελάου

\dfrac{QS}{ST}.\dfrac{DT}{DM}.\dfrac{MJ}{JQ}=1\Rightarrow \dfrac{QS}{TS}=2.\dfrac{JQ}{MJ},(**)

OP//T\Pi ,\dfrac{QP}{QT}=\dfrac{QO}{Q\Pi }\Rightarrow \dfrac{QO}{Q\Pi }=\sqrt{5}-1,(4),

λόγω της (*)

OQ+Q\Pi =O\Pi =OM-M\Pi =\dfrac{3\sqrt{3}a}{16},(5), (4),(5)\Rightarrow Q\Pi =\dfrac{3\sqrt{3}a}

{16\sqrt{5}},OQ=\dfrac{3\sqrt{3}a(\sqrt{5}-1)}{16\sqrt{5}}, MQ=OM-OQ=\dfrac{a\sqrt{3}}{16\sqrt{5}}.(\sqrt{5}+3), 

JM//DZ,\dfrac{JM}{DZ}=\dfrac{ME}{EZ}\Rightarrow JM=\dfrac{a\sqrt{3} (\sqrt{5}-1)}{8\sqrt{5}}, JQ=MQ-

MJ=\dfrac{a\sqrt{3}(5-\sqrt{5})}{16\sqrt{5}},,

γιατί στο ορθογώνιο τρίγωνο

BDM,DZ=\dfrac{a\sqrt{3}}{8},BZ=\dfrac{a}{8},ZM=\dfrac{3a}{8}, \dfrac{QS}{ST}-\dfrac{PQ}{QT}=\dfrac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}-(\sqrt{5}-1)=1



β)
Από το πρώτο ερώτημα ειναι

AD=\dfrac{3a}{4},ME=\dfrac{3a}{8}(\sqrt{5}-1),\dfrac{AD}{ME}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}=\varphi


Γιάννης
Συνημμένα
Χρυσός λόγος σε ισόπλευρο τρίγωνο.png
Χρυσός λόγος σε ισόπλευρο τρίγωνο.png (77.47 KiB) Προβλήθηκε 44 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες