Τηρεί τον λόγο του

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11719
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τηρεί τον λόγο του

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 26, 2018 2:39 pm

Τηρεί τον λόγο του.png
Τηρεί τον λόγο του.png (4.58 KiB) Προβλήθηκε 491 φορές
Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , το σημείο S κινείται πάνω στην

υποτείνουσα BC . Δείξτε ότι ο λόγος : \dfrac{SB^2+SC^2}{SA^2} , παραμένει σταθερός .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4674
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Τηρεί τον λόγο του

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Νοέμ 26, 2018 4:50 pm

Καλησπέρα σε όλους.

Για να μην τα δίνω όλα έτοιμα, κάντε κι εσείς κάτι: Στρίψτε (νοητά) το σχήμα ώστε να έλθει η υποτείνουσα στην οριζόντια ευθεία των αξόνων και το A να βρεθεί στην κατακόρυφη, προς τα πάνω. Ας πούμε ότι η υποτείνουσα έχει μήκος 2.

Έστω  \displaystyle A\left( {0,\;1} \right),\;B\left( { - 1,0} \right),C\left( {1,0} \right) και S(a, 0),  -1<a<1.

Τότε  \displaystyle \frac{{S{B^2} + S{C^2}}}{{S{A^2}}} = \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - a} \right)}^2}}}{{{a^2} + 1}} = \frac{{2{a^2} + 2}}{{{a^2} + 1}} = 2 , που είναι σταθερό (ίσο με την υποτείνουσα).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9591
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τηρεί τον λόγο του

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 26, 2018 5:12 pm

Καλησπέρα!

Με Stewart: \displaystyle {b^2}(SB + SC) = S{A^2}a + aSB \cdot SC \Leftrightarrow {b^2} = S{A^2} + SB \cdot SC \Leftrightarrow {a^2} = 2S{A^2} + 2SB \cdot SC \Leftrightarrow

\displaystyle {(SB + SC)^2} - 2SB \cdot SC = 2S{A^2} \Leftrightarrow \frac{{S{B^2} + S{C^2}}}{{S{A^2}}} = 2


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Τηρεί τον λόγο του

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Δευ Νοέμ 26, 2018 5:16 pm

a=AB Από νόμους συνημιτόνων στα τρίγωνα CAS,ASB παίρνουμε

AS^{2}=SC^{2}+a^{2}-2aCS\sigma \upsilon \nu 45^{\circ} και AS^{2}=a^{2}+BS^{2}-2BSa\sigma \upsilon \nu 45^{\circ} αθροίζοντας και τα 2 και λύνοντας τα καταλήγουμε στο 2AS^{2}=BS^{2}+CS^{2}\Leftrightarrow \frac{BS^{2}+CS^{2}}{AS^{2}}=2


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12432
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τηρεί τον λόγο του

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 26, 2018 5:56 pm

Φέρνουμε την μεσοκάθετο της υποτείνουσας, που βέβαια διέρχεται από το A. Έχουμε ότι MA=MB=MC, όπου M το μέσον της υποτείνουσας. Από το ορθογώνιο τρίγωνο AMS έχουμε

\displaystyle{\dfrac{SB^2+SC^2}{SA^2} = \dfrac{(MB+MS)^2+(MC-MS)^2}{MA^2+MS^2}= \dfrac{MB^2 +MS^2+MC^2+MS^2}{MA^2+MS^2}= \dfrac{2MA^2+2MS^2}{MA^2+MS^2}=2}


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 775
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Τηρεί τον λόγο του

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Δευ Νοέμ 26, 2018 11:11 pm

ΤΗΡΕΙ ΤΟΝ ΛΟΓΟ ΤΟΥ.png
ΤΗΡΕΙ ΤΟΝ ΛΟΓΟ ΤΟΥ.png (111.74 KiB) Προβλήθηκε 430 φορές


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1862
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τηρεί τον λόγο του

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Νοέμ 26, 2018 11:34 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 26, 2018 2:39 pm
Τηρεί τον λόγο του.pngΣτο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , το σημείο S κινείται πάνω στην

υποτείνουσα BC . Δείξτε ότι ο λόγος : \dfrac{SB^2+SC^2}{SA^2} , παραμένει σταθερός .

\displaystyle C{S^2} + S{B^2} = 2L{S^2} + 2S{K^2} = 2(L{S^2} + S{K^2}) = 2A{S^2} \Rightarrow \boxed{\frac{{C{S^2} + S{B^2}}}{{A{S^2}}} = 2}
Τηρεί τον λόγο του.png
Τηρεί τον λόγο του.png (20.08 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12432
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τηρεί τον λόγο του

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 26, 2018 11:48 pm

\displaystyle{SB^2+SC^2= (SD^2+DB^2)+(SE^2+EC^2)= 2(SD^2+AD^2)=2AS^2}. Τώρα διαιρούμε με το SA^2.

Edit: Τώρα βλέπω ότι ο Μιχάλης μόλις έκανε ουσιαστικά την ίδια λύση. Δεν υπήρχε όταν ξεκίνησα. Το αφήνω.
Συνημμένα
Pithago x 2.png
Pithago x 2.png (6.83 KiB) Προβλήθηκε 414 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1292
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τηρεί τον λόγο του

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Νοέμ 27, 2018 12:18 am

Χαιρετώ !
Τηρεί το λόγο του.PNG
Τηρεί το λόγο του.PNG (6.75 KiB) Προβλήθηκε 405 φορές
Φέρω SE \perp BC\Rightarrow SC=SE . Το AESB είναι εγγράψιμο με EB=2R και AS=\lambda _{4}=R\sqrt{2} 
.

Έτσι \dfrac{SB^{2}+SC^{2}}{AS^{2}}=\dfrac{EB^{2}}{AS^{2}}=\dfrac{4R^{^{2}}}{2R^{2}}=2. Φιλικά Γιώργος.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1900
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Τηρεί τον λόγο του

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Νοέμ 27, 2018 9:24 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 26, 2018 2:39 pm
Τηρεί τον λόγο του.pngΣτο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , το σημείο S κινείται πάνω στην

υποτείνουσα BC . Δείξτε ότι ο λόγος : \dfrac{SB^2+SC^2}{SA^2} , παραμένει σταθερός .
Καλημέρα

Αν ABTC είναι τετράγωνο με AS=ST,CS=x,AC=b,OS=\dfrac{b\sqrt{2}}{2}-x,SB=b\sqrt{2}-x

Τότε

\dfrac{BS^{2}+SC^{2}}{SA^{2}}=\dfrac{x^{2}+(b\sqrt{2}-x)^{2}}{b^{2}+x^{2}-b\sqrt{2}x}=

        2.\dfrac{x^{2}+b^{2}-b\sqrt{2}x}{b^{2}+x^{2}-b\sqrt{2}x}=2






Γιάννης
Συνημμένα
Τηρεί τον λόγο του.png
Τηρεί τον λόγο του.png (54.31 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ και 1 επισκέπτης