Εμβαδόν από το πουθενά

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 721
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Εμβαδόν από το πουθενά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Τρί Νοέμ 06, 2018 10:45 pm

GEOMETRIA209.png
GEOMETRIA209.png (18.04 KiB) Προβλήθηκε 377 φορές
Εστω τρίγωνο (AB, AC, BC)=(3, 4, 5).

Κινητό ξεκινά από σημείο D, της AC και κινούμενο σε ευθεία, συναντά την BC στο σημείο E.

Αν καθ' όλη τη διαδρομή του DE, το άθροισμα των αποστάσεων της τρέχουσας θέσης (σημείου) από τις AB, AC, BC παραμένει σταθερό,

βρείτε το εμβαδόν του ABED


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Νοέμ 07, 2018 3:08 am

Καλημέρα.Γεια σου Σάκη , τους χαιρετισμούς μου στο Κιάτο ! Ελκυστικό βεβαίως το παρόν θέμα , ικανό να σε ..αιχμαλωτίσει !
Εμβαδόν από το πουθενά S.K.PNG
Εμβαδόν από το πουθενά S.K.PNG (7.39 KiB) Προβλήθηκε 349 φορές
Στο σχήμα είναι DZ,MN \perp BC , EQ,MK  \perp AB και EP,ML\perp  AC

Δίνεται EP+EQ=DA+DZ= S

Μπορούμε να δείξουμε CE=2CD ..(1) και MK+ML+MN=S για το τυχαίο M \in DE ..(2) (*)

Τότε \left ( DEC \right )=CD\cdot CE\cdot \eta \mu \widehat{C}=\dfrac{3CD^{2}}{5} , οπότε \left ( ABED \right )=\left ( BAC \right )-\left ( DEC \right ) =6-\dfrac{3CD^{2}}{5}

(*) Επανέρχομαι για τις αποδείξεις 1 και 2.
Έχουμε EP+EQ=DA+DZ \Leftrightarrow EP+AP=AP+DP+DZ\Leftrightarrow EP=DP+DZ..(3)

Έστω CE=\lambda CD . Τότε EP=3CE/5=3\lambda CD/5 και DP=CP-CD=4CE/5-CD=4\lambda CD/5-CD=(4\lambda -5)CD/5

ενώ DZ=3CD/5. Άρα (3) \Leftrightarrow 3 \lambda CD/5=(4\lambda-5) CD/5 +3CD/5\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow \lambda =2 δηλ. CE=2CD

Στη συνέχεια θα δείξουμε ZE=2DZ και ότι τα τρίγωνα DEZ, DML είναι όμοια. Έχουμε ZE=CE-CZ =2CD-4CD/5=6CD/5

άρα ZE=2DZ αλλά και DP=(4\lambda -5)CD/5=3CD/5=DZ αφού \lambda =2.

Θέλουμε να δείξουμε
MK+ML+MN=DA+DZ \Leftrightarrow LA+MN+ML=LA+LD+DZ \Leftrightarrow ML+MN=DL+DZ ..(4)

Τα τρίγωνα DEZ,DEP είναι ίσα οπότε \widehat{DML}=\widehat{DEP}=\widehat{DEZ} δηλ. τα τρίγωνα DML,DEZ είναι όμοια επομένως ML=2DL=2(1-k)DZ .

Ας είναι MN=kDZ , τότε \dfrac{ME}{DE}=\dfrac{MN}{DZ}=k \Rightarrow \dfrac{DM}{DE}=1-k οπότε \dfrac{DL}{DP}= \dfrac{DM}{DE}=1-k\Rightarrow DL=(1-k)DP=(1-k)DZ

και επομένως (4)\Leftrightarrow 2(1-k)DZ +kDZ=(1-k)DZ +DZ \Leftrightarrow 2-k=2-k που ισχύει.

Άρα καθώς το M διατρέχει την DE (όπου  CE=2CD)
το άθροισμα των αποστάσεών του από τις 3 πλευρές παραμένει σταθερά ίσο με S= AD +DZ επομένως , αν το ερμηνεύω σωστά
ικανοποιείται η υπόθεση που γράφει ο Σάκης :
<< Αν καθ' όλη τη διαδρομή του DE, το άθροισμα των αποστάσεων της τρέχουσας θέσης (σημείου) από τις AB, AC, BC παραμένει σταθερό..>>
.

Το ζητούμενο εμβαδόν -εφόσον δεν υπάρχει λάθος στα παραπάνω - εκφράζεται ως συνάρτηση του μήκους του CD.

Για να είναι αριθμητικό αποτέλεσμα πρέπει το D να είναι σε μοναδική θέση πάνω στην AC.
Πιθανόν ο Σάκης με την ως άνω διατύπωση να εννοεί κάτι επιπλέον που δεν έχει αξιοποιηθεί..


Φιλικά , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 721
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Πέμ Νοέμ 08, 2018 2:21 pm

Γεια σου, Γιώργο και σε ευχαριστώ που καταπιάστηκες με το πρόβλημά μου.

Για να πέσει λίγο φως, ίσως θα πρεπε να λύσουμε ένα παλιό πρόβλημα κατασκευής, πρώτα:

''Σε τυχαίο τρίγωνο ABC (AC>AB>BC) κατασκευάστε τέμνουσα PQ (P, Q στην AB, AC) ώστε το άθροισμα των αποστάσεων οποιουδήποτε σημείου της από τις 3 πλευρές του ABC να είναι σταθερό''

Από την λύση της παραπάνω κατασκευής, προκύπτει ότι το PQ είναι μοναδικό.

Εφαρμόζοντας πλέον την ''κατασκευή'' στο αρχικό πρόβλημα, το DE είναι μοναδικό και πλέον το ζητούμενο εμβαδόν είναι υπολογιστέο.

Φιλικά,
Σάκης

ΥΓ. Είμαι μακριά από την έδρα μου και τα ''εργαλεία'' μου. Είναι πολύ πιθανόν, ο Γιώργος να 'χει δίκιο και να έχουμε πέσει σε μια μορφή ''απροσδιοριστίας'' ή ''γραμμικής εξάρτησης'', λόγω το ότι το 3-4-5 είναι ορθογώνιο και όχι ''τυχαίο'' - και πλέον όλες οι τέμνουσες // με τη DE έχουν την ιδιότητα του ''σταθερού αθροίσματος''. Αν πράγματι είναι έτσι, ζητώ συγγνώμη εκ προοιμίου, πρωτίστως απ'τον φίλο Γιώργο αλλά και όποιον άλλο ασχολήθηκε.
Βέβαια, σκοπός μου δεν ήταν να σας ''παιδέψω'', αλλά με έμμεσο τρόπο να φέρω στην επιφάνεια την παραπάνω παλιά κατασκευή, που νομίζω είναι ενδιαφέρουσα.


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1998
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Πέμ Νοέμ 08, 2018 4:42 pm

sakis1963 έγραψε: ...''Σε τυχαίο τρίγωνο ABC (AC>AB>BC) κατασκευάστε τέμνουσα PQ (P, Q στην AB, AC) ώστε το άθροισμα των αποστάσεων οποιουδήποτε σημείου της από τις 3 πλευρές του ABC να είναι σταθερό'' ...
Δείτε και Εδώ, την εκτεταμένη συζήτηση για το ενδιαφέρον αυτό πρόβλημα.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δεν είναι απαραίτητο τα άκρα του τμήματος PQ να ανήκουν στις δύο μεγαλύτερες πλευρές του δοσμένου τριγώνου.


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 721
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Πέμ Νοέμ 08, 2018 8:14 pm

Timmermans' Problem.png
Timmermans' Problem.png (348.68 KiB) Προβλήθηκε 235 φορές
Μετά και την παρέμβαση του φίλου Κώστα, οφείλω να δώσω και την πηγή της "έμπνευσης"

από τον ΙΙΙ τόμο της ελληνικής μετάφρασης της Γεωμετρίας των Ιησουιτών


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Νοέμ 09, 2018 2:59 am

Καλημέρα σε όλους !
Μετά τα άκρως ενδιαφέροντα που προηγήθηκαν ας δούμε μια (αριθμητική) εφαρμογή του αρχικού προβλήματος
9-11 Εμβαδόν από το πουθενά !.PNG
9-11 Εμβαδόν από το πουθενά !.PNG (7.14 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές
Αν θεωρήσουμε ( ..όχι τυχαία ) το εν λόγω σταθερό άθροισμα S=\dfrac{18}{5} και CD=x τότε
AD=4-x..DZ=3x/5 οπότε AD+DZ=S \Rightarrow 4-x+3x/5=18/5\Leftrightarrow CD=x=1

και από τη σχέση \left ( ABED \right )= 6-\dfrac{3CD^{2}}{5} της α' ανάρτησής μου προκύπτει \left ( ABED \right )=6-\dfrac{3}{5}=\dfrac{27}{5}

το οποίο Σάκη , είμαι .. :) ..(σχεδόν) βέβαιος ότι είναι το αποτέλεσμα που ζητούσες !

Ένα μεγάλο ευχαριστώ και στον Κώστα για το "παράθυρο γνώσης" που μας άνοιξε !
Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1501
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Νοέμ 09, 2018 10:57 am

sakis1963 έγραψε:
Τρί Νοέμ 06, 2018 10:45 pm
GEOMETRIA209.png
Εστω τρίγωνο (AB, AC, BC)=(3, 4, 5).

Κινητό ξεκινά από σημείο D, της AC και κινούμενο σε ευθεία, συναντά την BC στο σημείο E.

Αν καθ' όλη τη διαδρομή του DE, το άθροισμα των αποστάσεων της τρέχουσας θέσης (σημείου) από τις AB, AC, BC παραμένει σταθερό,

βρείτε το εμβαδόν του ABED
Μία διευκρίνηση:

"το άθροισμα των αποστάσεων της τρέχουσας θέσης (σημείου) από τις AB, AC, BC παραμένει σταθερό"

Τι σταθερό; π.χ. σταθερό και δοσμένο;


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1501
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Νοέμ 09, 2018 5:32 pm

sakis1963 έγραψε:
Πέμ Νοέμ 08, 2018 8:14 pm
Timmermans' Problem.png

Μετά και την παρέμβαση του φίλου Κώστα, οφείλω να δώσω και την πηγή της "έμπνευσης"

από τον ΙΙΙ τόμο της ελληνικής μετάφρασης της Γεωμετρίας των Ιησουιτών
1.png
1.png (244.37 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές
Ελλιπής (;) αντιμετώπιση! Στην πραγματικότητα κάθε ευθεία παράλληλη στην ΔΕ μας κάνει.


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1998
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Παρ Νοέμ 09, 2018 10:43 pm

Όμως Κώστα, μιλάμε για κάτι λιγότερο από διακόσια χρόνια πριν!

Εντύπωση βέβαια προκαλεί και θα είχε ενδιαφέρον να δει κάποιος, αυτό που αναφέρεται πιο κάτω για την διερεύνηση.

..."ενδιαφέρουσα και μακρά"...

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1501
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Νοέμ 10, 2018 8:42 am

Κώστα και λοιποί αγαπητοί φίλοι,

αν δούμε την λύση αυστηρά είναι ακριβέστατη! Το πρόβλημα ζητά να κατασκευαστεί ευθεία (τώρα στην γεωμετρία της "αφής" πολλές φορές η ευθεία σημαίνει ευθύγραμμο τμήμα) η οποία έχει μία ιδιότητα. Και με αρχαιοελληνικό τρόπο μας λέει:

"Ορίστε, θέλεις, κατά την εκφώνηση, μία ευθεία; Πάρτην! Είναι η ΔΕ! Να και η απόδειξη ότι έχει την εν λόγω ιδιότητα"

Όλα καλά. Η ένστασή προκύπτει στην συνέχεια που μιλάει για διερεύνηση. Στην πραγματικότητα διερευνά την ύπαρξη ευθειών ανάλογης κατασκευής με την ΔΕ. Εδώ φαίνεται ότι δεν έχει ιδέα για τις υπόλοιπες ευθείες που υπάρχουν.

Βέβαια, ναι, πάνε διακόσια χρόνια. Κανείς δεν μέμφεται κανέναν. Απεναντίας. Η λύση είναι ευφυέστατη. Διαφωνώ αλλά τέρπομαι! Τέλος αυτό που λέει για τα πρόσημα είναι ακριβώς τα πρόσημα των τριγραμμικών συντεταγμένων!!


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης