Ισόπλευρο και τμήμα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3270
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Ισόπλευρο και τμήμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Νοέμ 03, 2018 9:32 am

shape.png
shape.png (14.11 KiB) Προβλήθηκε 632 φορές
Στο ισόπλευρο τρίγωνο ABC, του παραπάνω σχήματος, να βρείτε το τμήμα x = BE


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8932
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 03, 2018 10:37 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Σάβ Νοέμ 03, 2018 9:32 am
shape.pngΣτο ισόπλευρο τρίγωνο ABC, του παραπάνω σχήματος, να βρείτε το τμήμα x = BE
Καλημέρα σε όλους!
Ισόπλευρο και τμήμα.png
Ισόπλευρο και τμήμα.png (11.59 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές
Νόμος συνημιτόνων στα ADM, DBE, MCE: \displaystyle D{M^2} = 28,D{E^2} = {x^2} - 8x + 64,M{E^2} = {x^2} - 18x + 108

Αλλά, \displaystyle D{M^2} = M{E^2} - D{E^2} \Leftrightarrow \boxed{x=\frac{8}{5}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1202
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Νοέμ 04, 2018 12:38 am

Για την καλημέρα σε φίλους !
Ισόπλευρο ..Μ.Ν 2PNG.PNG
Ισόπλευρο ..Μ.Ν 2PNG.PNG (8.04 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές
Στο \vartriangle DAM βρίσκουμε \sigma \upsilon \nu \omega =1/\sqrt{28} και \eta \mu \omega =\sqrt{27}/\sqrt{28}

άρα \eta \mu \left ( \widehat{BDE} \right )=\sigma \upsilon \nu \omega =1/\sqrt{28} και \eta \mu \left ( \widehat{BED} \right )=\eta \mu \left ( \omega +\pi /6 \right )=..=5/\sqrt{28}

οπότε ο Ν.Η στο \vartriangle BED μας δίνει }BE=BD \cdot \dfrac{\eta \mu \left ( \widehat{BDE} \right )}{\eta \mu \left ( \widehat{BED} \right )}= \dfrac{8}{5}.

Ενδιαφέρον έχει να δειχθεί -και με άλλο τρόπο- ότι BD=5BE.. Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11344
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Νοέμ 04, 2018 8:41 am

Σε  δουλειά.png
Σε δουλειά.png (11.68 KiB) Προβλήθηκε 566 φορές
Σε δουλειά να βρισκόμαστε : (5,-\sqrt{3})(x-4,-4\sqrt{3})=0\Leftrightarrow x=\dfrac{8}{5} .


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1158
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Νοέμ 04, 2018 11:35 am

1.png
1.png (18.7 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές
Καλημέρα.

Η ομοιότητα των χρωματιστών τριγώνων, λύνει το πρόβλημα.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1765
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Νοέμ 04, 2018 5:55 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Σάβ Νοέμ 03, 2018 9:32 am
shape.pngΣτο ισόπλευρο τρίγωνο ABC, του παραπάνω σχήματος, να βρείτε το τμήμα x = BE

Με \displaystyle DM \cap BC = S και \displaystyle DZ//BC \Rightarrow ZM = 2 και \displaystyle \frac{{DZ}}{{CS}} = \frac{{ZM}}{{MC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \boxed{CS = BC = 12}

Από το ισοσκελές τραπέζιο \displaystyle DZCB \Rightarrow BL = 4 και \displaystyle D{L^2} = {8^2} - {4^2} = 48

Αλλά \displaystyle D{L^2} = EL \cdot LS \Rightarrow 48 = \left( {4 - x} \right) \cdot 20 \Rightarrow \boxed{x = \frac{8}{5}}
ισόπλευρο και τμήμα.png
ισόπλευρο και τμήμα.png (24 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1202
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Νοέμ 05, 2018 2:00 am

Καλημέρα σε όλους τους φίλους ! Ακόμη μία , χωρίς να χρειαστεί εξίσωση ως προς x
5-11 Ισόπλευρο.. Μ.Ν.PNG
5-11 Ισόπλευρο.. Μ.Ν.PNG (10.9 KiB) Προβλήθηκε 502 φορές
Με DZ,MG \perp BC και DFG \perp DZ,MG \Rightarrow  DFG\parallel BC εύκολα υπολογίζουμε τα τμήματα που φαίνονται στο σχήμα.

Τα ορθογώνια DEZ , DGM είναι όμοια ( οι  \theta είναι οξείες με κάθετες πλευρές) , άρα \dfrac{EZ}{DZ}=\dfrac{GM}{DG}\Rightarrow EZ=4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}/5=12/5

οπότε BE=BZ-EZ= 4-\dfrac{12}{5}=\dfrac{8}{5} . Φιλικά , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7024
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 06, 2018 11:03 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Σάβ Νοέμ 03, 2018 9:32 am
shape.pngΣτο ισόπλευρο τρίγωνο ABC, του παραπάνω σχήματος, να βρείτε το τμήμα x = BE
Προεκτείνω την πλευρά BC πέραν του C κατά τμήμα CS = BC = 12. Το τρίγωνο ABS \to (90^\circ ,60^\circ ,30^\circ ).

Έστω τώρα το ύψος AO του \vartriangle ABC και Hτο σημείο τομής του με το DM. Θα είναι (Θ. διχοτόμου και παραλληλίας) \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{DH}}{{HM}} = \frac{{AD}}{{AM}} = \frac{2}{3}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\, \hfill \\ 
  \frac{{AH}}{{HO}} = \frac{{DH}}{{HM}} = \frac{2}{3}\, \hfill \\  
\end{gathered}  \right. (1)
Nannakia.png
Nannakia.png (47.48 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές
Φέρνω από το H παράλληλες στις AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC που τέμνου, την K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L

προφανώς το \vartriangle HKL είναι ισόπλευρο πλευράς , λόγω των (1), \boxed{d = \frac{3}{5}AC = \frac{{36}}{5}} \Rightarrow \boxed{BK = BO - OK = 6 - \frac{{18}}{5} = \frac{{12}}{5}\,}\,\,\,(2)

Επειδή όμως ( παρ. 5.9 άσκηση 6 , αποδεικτικές σχολικού) η SM διέρχεται από το D , το H είναι ορθόκεντρο του \vartriangle AKS

και άρα AK//DE \Rightarrow \boxed{x = \frac{2}{3}BK = \frac{2}{3} \cdot \frac{{12}}{5} = \frac{8}{5}}

θα γράψω αργότερα τουλάχιστον μια λύση ( με απλούστερο σχήμα) αλλά με χρήση μετρικών σχέσεων κεφάλαιο 9 )


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7024
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 06, 2018 11:28 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Σάβ Νοέμ 03, 2018 9:32 am
shape.pngΣτο ισόπλευρο τρίγωνο ABC, του παραπάνω σχήματος, να βρείτε το τμήμα x = BE
Nanmakia_new_2.png
Nanmakia_new_2.png (22.33 KiB) Προβλήθηκε 454 φορές
Έστω η τομή των ευθειών , ED\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,CA . στο ορθογώνιο τρίγωνο DMG από Θ. συνημίτονου έχω :

\left\{ \begin{gathered} 
  D{M^2} = {4^2} + {6^2} - 4 \cdot 6 = 28 \hfill \\ 
  D{G^2} = 16 + {y^2} + 4y \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και προσθέτοντας κατά μέλη λόγω Π. Θ. έχω :

{(y + 6)^2} = 28 + 16 + {y^2} + 4y \Rightarrow 36 + 12y + {y^2} = 28 + 16 + {y^2} + 4y \Rightarrow 8y = 8 \Rightarrow \boxed{y = 1}

Αν τώρα φέρω από το E παράλληλη στην AC και κόψει την AB στο T θα είναι :

\displaystyle \dfrac{{DT}}{{DA}} = \dfrac{{TE}}{{AG}} \Rightarrow \dfrac{{8 - x}}{4} = \dfrac{x}{1} \Rightarrow \boxed{x = \frac{8}{5}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7024
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 06, 2018 12:03 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Σάβ Νοέμ 03, 2018 9:32 am
shape.pngΣτο ισόπλευρο τρίγωνο ABC, του παραπάνω σχήματος, να βρείτε το τμήμα x = BE
Κάνω την ίδια εργασία με το σημείο Z της πλευράς BC με BZ = 8\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZC = 4 και φέρνω κάθετη στη MZστο Z που τέμνει την DE στο H και την AB\,\, στο K.

Προφανώς λόγω συμμετρίας τα B,H,M ανήκουν στην ίδια ευθεία που τέμνει την DZ στο O που είναι το βαρύκεντρο του \vartriangle ABC. Θέτω: BH = u,\,HO = v,\,\,OM = w.
Nannakia_new_1.png
Nannakia_new_1.png (31.01 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές
Θα ισχύουν: w = \dfrac{1}{3}BO = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{{12\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 ( από τον τύπο που δίνει το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου )

u + v = 2w = 4\sqrt 3 \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,vw = {4^2} = 16 έτσι προκύπτει : \boxed{v = 2u\,\,\,\left( {\, = \dfrac{8}{{\sqrt 3 }}} \right)}.

Από τη σχέση Van\,\,Aubel στο \vartriangle BDZ έχω : \dfrac{{BE}}{{EZ}} + \dfrac{{BK}}{{KD}} = \dfrac{{BH}}{{HO}} \Rightarrow \dfrac{{2x}}{{8 - x}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{8}{5}}.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11344
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 06, 2018 12:59 pm

Nanrespect.png
Nanrespect.png (16.87 KiB) Προβλήθηκε 443 φορές
Μιχάλη , μην νομίσεις ότι κατασκεύασες τη "θεματάρα" . Απλά φαίνεται ότι πολλοί σ' αγαπούν εδώ μέσα

και δίνουν λύσεις για να σου φτιάξουν το κέφι :lol: Η συμμετοχή μου σ' αυτό το αγαθό "τρολλάρισμα " ,

είναι το να προσθέσω ένα ερώτημα : Αν A' το συμμετρικό του A ως προς BC , υπολογίστε το BS .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7024
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 06, 2018 2:02 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 06, 2018 12:59 pm
Nanrespect.pngΜιχάλη , μην νομίσεις ότι κατασκεύασες τη "θεματάρα" . Απλά φαίνεται ότι πολλοί σ' αγαπούν εδώ μέσα

και δίνουν λύσεις για να σου φτιάξουν το κέφι
Εξ όσων γνωρίζω πλείστοι όσοι εξ ημών έχουν τύχει ευεργετημάτων του Μιχαήλωφ ! Προσωπικά δεν μου έχει ποτέ χαλάσει χατήρι σε ότι του ζητήσω!

εχτρα απο KarKar.png
εχτρα απο KarKar.png (23.29 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές
\boxed{\frac{{BS}}{y} = \frac{8}{4} \Rightarrow BS = 2} Αφου ( προ προηγούμενη ανάρτηση y=1


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ και 2 επισκέπτες