Αθροισμα λόγων σε τρίγωνο

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA211-FB2118.jpg (27.59 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

Εστω τρίγωνο ABC

. Ας είναι

o "νότιος πόλος" του κύκλου διαμέτρου

και

το σημείο τομής του κύκλου με την

.

Αν οι BP, CP

συναντούν τις AC, AB

στα σημεία D, E

αντίστοιχα,

δείξτε ότι $\dfrac{1}{BP}+\dfrac{1}{PD}=\dfrac{1}{CP}+\dfrac{1}{PE}$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ:
Υπήρχε λάθος στην διατύπωση του προβλήματος που διορθώθηκε.
Ας με συγχωρέσουν οι φίλοι που ήδη ασχολήθηκαν ....

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

sakis1963 έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 26, 2018 7:06 pm
GEOMETRIA211-FB2118.jpg

Εστω τρίγωνο . Ας είναι o "νότιος πόλος" του κύκλου διαμέτρου

και το σημείο τομής του κύκλου με την .

Αν οι συναντούν τις στα σημεία αντίστοιχα,

δείξτε ότι $\dfrac{1}{BP}+\dfrac{1}{PD}=\dfrac{1}{CP}+\dfrac{1}{PE}$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ:
Υπήρχε λάθος στην διατύπωση του προβλήματος που διορθώθηκε.
Ας με συγχωρέσουν οι φίλοι που ήδη ασχολήθηκαν ....

Είναι , $\displaystyle 2\left( {EDC} \right) = v\left( {x + w} \right)$ και $\displaystyle 2\left( {EDB} \right) = x\left( {u + v} \right)$ ,άρα $\displaystyle \frac{{u\left( {EDC} \right)}}{{w\left( {EDB} \right)}} = \frac{{vu\left( {x + w} \right)}}{{xw\left( {u + v} \right)}}$

Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle \frac{{u\left( {EDC} \right)}}{{w\left( {EDB} \right)}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\left( {EDC} \right)}}{{\left( {EDB} \right)}} = \frac{w}{u}$

Ας είναι $\displaystyle K,Z,H$ οι ορθές προβολές των $\displaystyle A,C,B$ επί της $\displaystyle ED$

Είναι, $\displaystyle \frac{{EA}}{{BE}} = \frac{{AF}}{{BH}},\frac{{CD}}{{AD}} = \frac{{CZ}}{{AF}}$ κι επειδή $\displaystyle PG$ διχοτόμος της $\displaystyle \angle BPC \Rightarrow \frac{w}{u} = \frac{{CG}}{{GB}}$

Από CEVA όμως έχουμε $\displaystyle \frac{{CG}}{{GB}} \cdot \frac{{BE}}{{EA}} \cdot \frac{{DA}}{{DC}} = 1 \Rightarrow \frac{w}{u} = \frac{{CG}}{{GB}} = \frac{{EA}}{{BE}} \cdot \frac{{CD}}{{AD}} = \frac{{AF}}{{BH}} \cdot \frac{{CZ}}{{AF}} = \frac{{CZ}}{{BH}}$

Άρα $\displaystyle \boxed{\frac{w}{u} = \frac{{CZ}}{{BH}} = \frac{{\left( {EDC} \right)}}{{\left( {EDB} \right)}}}$ οπότε $\displaystyle \frac{{vu\left( {x + w} \right)}}{{xw\left( {u + \upsilon } \right)}} = 1 \Rightarrow \boxed{\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{x} + \frac{1}{w}}$

Για κάποιο λόγο το λατινικό βε στο κείμενο το βγάζει $\displaystyle \upsilon$

: άθροισμα λόγων σε τρίγωνο.png (33.8 KiB) Προβλήθηκε 558 φορές

#3

Ας δούμε σε μετάφραση, μία από τις αποδείξεις που έχουν δημοσιευτεί Εδώ.

$\bullet$ Έστω

, το συμμετρικό σημείο του

ως προς την ευθεία

και έχουμε το ότι η ευθεία

περνάει από το σημείο

, λόγω $\angle BPM = \angle CPM$ .

Έστω τα σημεία $Z\equiv AT\cap CE$ και $Q\equiv BZ\cap ET$ και $F\equiv BE\cap PQ$ .

Στο τρίγωνο $\vartriangle PBE$ με διατέμνουσα την ευθεία AZT

, σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου, έχουμε $\displaystyle \frac{ZE}{ZP}\cdot \frac{TP}{TB}\cdot \frac{AB}{AE} = 1\ \ \ ,(1)$

Από $(1)\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{PZ - PE}{PZ}\cdot \frac{PT}{PT - PB}\cdot \frac{AB}{AE}=1}\ \ \ ,(2)$

$\bullet$ Από το πλήρες τετράπλευρο BEZTAP

έχουμε το ότι η σημειοσειρά $A,\ E,\ F,\ B$ είναι αρμονική και επομένως, ισχύει $\boxed{\displaystyle \frac{AB}{AE} = \frac{FB}{FE}}\ \ \ ,(3)$

: Άθροισμα λόγων σε τρίγωνο.; f22 t62879.png (19.21 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές

Στο τρίγωνο $\vartriangle PBE$ , λόγω της ως άνω αρμονικής σημειοσειράς, προκύπτει ότι η ευθεία

διχοτομεί την γωνία $\angle P$ ,

λόγω της

ως εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας $\angle P$ και άρα, έχουμε $\boxed{\displaystyle \frac{FB}{FE} = \frac{PB}{PE}}\ \ \ ,(4)$

Από $(2),\ (3),\ (4)\Rightarrow$ $\displaystyle \left( 1 - \frac{PE}{PZ}\right)\cdot \frac{PB}{PE} = 1 - \frac{PB}{PT}\ \ \ ,(5)$

Από $(5)\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{PB}{PE} - \frac{PB}{PZ} = \frac{PB}{PB} - \frac{PB}{PT}\ \ \ ,(6)$

Από $(6)\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{1}{PE} - \frac{1}{PZ} = \frac{1}{PB} - \frac{1}{PT}\ \ \ ,(7)$

Από (7)

και

λόγω συμμετρίας ως προς την ευθεία

, συμπεραίνεται ότι $\boxed{\displaystyle \frac{1}{PE} + \frac{1}{PC} = \frac{1}{PB} + \frac{1}{PD}}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

$\bullet$ Η απόδειξη αυτή είναι αφιερωμένη σε ένδειξη τιμής, στον θεματοδότη Θάνο Καλογεράκη.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Έχω το προνόμιο να με τιμά με την φιλία του ο Θάνος Καλογεράκης, εραστής της Γεωμετρίας, λύτης και καταξιωμένος ήδη κατασκευαστής γεωμετρικών προβλημάτων, με διεθνή αναγνώριση.

Ο Θάνος ζει και δημιουργεί στο Κιάτο Κορινθίας, έχει τελειώσει το Ε.Μ.Π. και είναι Μηχανολόγος Μηχανικός εν ενεργεία. Έχει τρεις γιους που ακολουθούν τα χνάρια του πατέρα τους ως μελλοντικοί Μηχανικοί του Πολυτεχνείου.

Είμαι σίγουρος ότι έχει πολλά να μας προσφέρει τα επόμενα χρόνια και του εύχομαι ολόψυχα να χαίρεται τους ανθρώπους του, να έχει καλή υγεία και να συνεχίσει με τον ίδιο ενθουσιασμό να εμπνέεται ενδιαφέροντα γεωμετρικά προβλήματα.

Αθροισμα λόγων σε τρίγωνο

Αθροισμα λόγων σε τρίγωνο

Re: Αθροισμα λόγων σε τρίγωνο

Re: Αθροισμα λόγων σε τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση