Μισή ορθή από μέσα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 764
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Μισή ορθή από μέσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Πέμ Οκτ 25, 2018 7:25 pm

GEOMETRIA210-FB2220.png
GEOMETRIA210-FB2220.png (19.3 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές
Σε τετράγωνο ABCD γράφουμε το τεταρτοκύκλιο DB με κέντρο A και ακτίνα AB.

Αν P τυχαίο σημείο του τεταρτοκυκλίου και M, N, L τα μέσα των AB, AD, CP αντίστοιχα,

δείξτε οτι \hat{MLN}=45^o


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 794
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μισή ορθή από μέσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Οκτ 25, 2018 8:26 pm

Έστω πως η CN τέμνει την AB στο F.

Από τα ίσα τρίγωνα CDN και FAN συμπεραίνουμε πως CN=NF και FA=DC=AB.

Άρα το F είναι το αντιδιαμετρικό του B στον κόκκινο κύκλο και οπότε \widehat{BPF}=90^o.

Στο τρίγωνο CFP τα N, L είναι μέσα των CF και CP αντίστοιχα, οπότε LN//PF.

Άρα PB\perp LN.

Έστω K το μέσο του BC. Είναι LK//PB, οπότε LK\perp LN\Leftrightarrow \widehat{NLK}=90^o.

Εύκολα μπορεί κανείς να συμπεράνει πως το τρίγωνο NMK είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Έχουμε λοιπόν πως το τετράπλευρο NLKM είναι εγγράψιμο, αφού δύο απέναντι γωνίες του είναι 90^o. Όμως αφού MN=MK, έχουμε πως η LM διχοτομεί την NLK, δηλαδή είναι \widehat{MLN}=45^o.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 764
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Μισή ορθή από μέσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Κυρ Οκτ 28, 2018 6:51 pm

GEOMETRIA210-FB2220 sol.png
GEOMETRIA210-FB2220 sol.png (23.38 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές
Φίλε Διονύση, ευχαριστώ για τη λύση σου.

Θα πω δυο λόγια για την ιδέα κατασκευής του προβλήματος, που είναι ταυτόχρονα και λύση.

Προφανώς DC=AP=BC=a και συνεπώς τα NL, ML που ενώνουν τα μέσα των άνισων πλευρών των APCD, APCB αντίστοιχα,

είναι // με τις διχοτόμους των γωνιών \hat{\phi}=\widehat{DC, AP}, \hat{\theta}=\widehat{AP, BC}.

Αλλά \hat{\phi}+\hat{\theta}=90^o και το ζητούμενο \widehat{NLM}=45^o έπεται.

Η πιο σύντομη λύση βέβαια προκύπτει από την παρατήρηση ότι τα M, N, L ανήκουν στον εγγεγραμμένο κύκλο του τετραγώνου (ομοιοθεσία),

οπότε το ζητούμενο έπεται άμεσα


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες