Από ισότητα σε καθετότητα

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA209-FB2324b.png (20.01 KiB) Προβλήθηκε 850 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

.

Στις πλευρές AB, AC

ή στις προεκτάσεις τους βρείτε (γεωμετρικά) σημεία P, Q

αντίστοιχα,

ώστε BP=CQ

και $PQ \perp BC$

KARKAR · #2

: Από ισότητα σε καθετότητα.png (15.34 KiB) Προβλήθηκε 830 φορές

Από το μέσο

της

φέρω παράλληλη προς τη διχοτόμο

, η οποία τέμνει την

στο

και την προέκταση της

στο

. Εύκολα αποδεικνύεται ότι :

BL=CK

και

( είναι η άσκηση

- αποδεικτικές ) , σελίδα

του τωρινού σχολικού βιβλίου .Τώρα θέλουμε να είναι : LP=KQ

και $PQD\perp BC$ .

Φέρουμε $LN\perp BC$ και $SK\perp BC$ . Οι διαγώνιοι του τραπεζίου LNKS

τέμνονται στο

. Η κάθετη από το

προς την

, μας δίνει τα ζητούμενα σημεία P,Q,D

.
Μέχρι εδώ είχα κουράγιο , τώρα δική σας ( για τις αιτιολογήσεις )

#3

Με Θ Μενελάου στο $\vartriangle ABC$ με διατέμνουσα $\overline {PQD}$ έχω : $\dfrac{{AP}}{{PB}} \cdot \dfrac{{BD}}{{DC}} \cdot \dfrac{{CQ}}{{QA}} = 1 \Rightarrow \boxed{\frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{DC}}{{DB}}}$

: Κατασκευή Καλογεράκη.png (11.9 KiB) Προβλήθηκε 807 φορές

Αλλά το τρίγωνο APQ

παραμένει όμοιο σε όλες τις κάθετες στην

και άρα $\dfrac{{AP}}{{AQ}} = \dfrac{m}{n}$ σταθερό . Αν λοιπόν $DC = x \Rightarrow DB = a - x$ θα έχω :

$\dfrac{x}{{a - x}} = \dfrac{m}{n} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{m + n}}{m} = \frac{a}{x}}$ και το

κατασκευάζεται ως Τετάρτη ανάλογος γνωστών ευθυγράμμων τμημάτων.

Πιο κάτω η πλήρης κατασκευή. (Σχηματικά)

: Πλήρης κατασκευή Σάκη.png (19.03 KiB) Προβλήθηκε 795 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλημέρα σε όλους ! Δεν ακολουθεί διαφορετική λύση , αλλά παραλλαγή της κατασκευής σύμφωνα με την ωραία λύση του Νίκου πριν.

: 26-10-18 ΣΚ-ΝΦ.PNG (7.21 KiB) Προβλήθηκε 787 φορές

Πάνω στην

παίρνουμε σημεία Z,E,H

ώστε $ZC \perp BC$ και BE=AC..EH=AZ

. Έχουμε $\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{AP}{AQ}=\dfrac{AZ}{AC}=\dfrac{EH}{EB}$ .

Για την κατασκευή λοιπόν αρκεί να φέρουμε $ED \parallel CH$ και $DQP \perp BC$ . Φιλικά Γιώργος.

Από ισότητα σε καθετότητα

Από ισότητα σε καθετότητα

Re: Από ισότητα σε καθετότητα

Re: Από ισότητα σε καθετότητα

Re: Από ισότητα σε καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση