Μία ακόμη γωνία

KARKAR · #1

: Μία ακόμη γωνία.png (9.78 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Στο ημικύκλιο του σχήματος αξιοποιήστε τα δεδομένα για να υπολογίσετε τη γωνία $\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 11, 2018 8:51 am
Μία ακόμη γωνία.pngΣτο ημικύκλιο του σχήματος αξιοποιήστε τα δεδομένα για να υπολογίσετε τη γωνία $\theta$ .

: Μία...γωνία.png (11.92 KiB) Προβλήθηκε 534 φορές

$\displaystyle S{D^2} = 12 \cdot 9 \Leftrightarrow SD = 6\sqrt 3$

$\displaystyle \tan \theta = \tan \left( {D\widehat SB - \omega } \right) = \frac{{\frac{9}{{6\sqrt 3 }} - \frac{2}{{6\sqrt 3 }}}}{{1 + \frac{{18}}{{{{(6\sqrt 3 )}^2}}}}} = \frac{{42\sqrt 3 }}{{126}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\theta < {{90}^0}}$ $\boxed{\theta=30^0}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 11, 2018 8:51 am
Μία ακόμη γωνία.pngΣτο ημικύκλιο του σχήματος αξιοποιήστε τα δεδομένα για να υπολογίσετε τη γωνία $\theta$ .

Άλλη μία. Φέρνω $\displaystyle BH \bot SE.$

: Μία...γωνία.β.png (15.69 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές

Το

είναι εγγράψιμο, οπότε: $\displaystyle SE \cdot EH = 14 \Leftrightarrow EH = \frac{{\sqrt 7 }}{2}$

Αλλά, $\displaystyle H{B^2} = 49 - \frac{7}{4} \Leftrightarrow HB = \frac{{\sqrt {189} }}{2} = \frac{{SB}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\theta=30^0}$

Διευκρινίσεις: To $SE=4\sqrt 7$ υπολογίστηκε από Π. Θ στο SDE

και $\displaystyle S{B^2} = BD \cdot BA = 189$

Altrian · #4

Καλησπέρα, μια ακόμα λύση, αλλά όχι τόσο απλή όσο του Γιώργου.
Με π.θ και πράξεις υπολογίζουμε $SB=3\sqrt{21}$ και $SA=6\sqrt{7}$ .
$tan A=SB/SA=\sqrt{3}/2 = cos(30)$
Ετσι αν από το

φέρουμε γωνία

ως προς την

και τμήμα επ' αυτής SL=SB

το $\triangle ALS$
είναι ορθογώνιο (90,60,30) όπως και το $\triangle ASC$ που προκύπτει προεκτείνοντας τις AL,SB

που τέμνονται στο

. Επίσης $\triangle SLB$ ισόπλευρο.

Προφανώς LB=SB=BC

και επειδή AE=2EB

το

κέντρο βάρους του $\triangle ASC$ δηλ.

διάμεσος υποτείνουσας τριγώνου (90,60,30)

δηλ. $\widehat{\theta}=30$ .

Εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πολύ πρόσφατη άσκηση του KARKAR (Νεοκατασκευή) με παρόμοια δεδομένα, απ'όπου προκύπτει ότι οι $\widehat{ASE}=2*\widehat{BSE}$ και άρα $\widehat{\theta}=30$

Ιστοσελίδα · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 11, 2018 8:51 am
Στο ημικύκλιο του σχήματος αξιοποιήστε τα δεδομένα για να υπολογίσετε τη γωνία $\theta$ .

Καλησπέρα!

: shape.png (27.93 KiB) Προβλήθηκε 444 φορές

$S{D^2} = 12 \cdot 9 \Leftrightarrow SD = 6\sqrt 3$

$C{K^2} = AK \cdot KB \Leftrightarrow {\left( {6\sqrt 3 m} \right)^2} = (14 + 2m)(7 - 2m)$ $\ldots \mathop \Rightarrow \limits^{m > 0} m = \dfrac{7}{8}$

$\tan \theta = \dfrac{{CK}}{{AK}} = \ldots = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \theta = {30^ \circ }$

#6

Ας είναι

η προβολή του

στην

. Επειδή $\dfrac{{AK}}{{KS}} = \dfrac{{AE}}{{EB}} = \dfrac{{14}}{7} = 2 \Rightarrow AK = 2KS = 2x\,\,(1)$ .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο SAB

έχω : $\left\{ \begin{gathered} S{A^2} = AD \cdot AB = 12 \cdot 21 = {6^2} \cdot 7 \hfill \\ S{D^2} = DA \cdot DB = 12 \cdot 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Έτσι από το Π. Θ. στο $\vartriangle DSE$ έχω : $S{E^2} = S{D^2} + D{E^2} = 12 \cdot 9 + 4 = {4^2} \cdot 7$

: Ακόμη μια γωνία.png (26.91 KiB) Προβλήθηκε 435 φορές

Μετά απ’ αυτά: $\left\{ \begin{gathered} SA = 6\sqrt 7 \hfill \\ SE = 4\sqrt 7 = AK \hfill \\ KS = 2\sqrt 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow SE = 2SK \Rightarrow \widehat {{\theta _1}} = 30^\circ \Rightarrow \boxed{\widehat \theta = 30^\circ }$

Γιώργος Μήτσιος · #7

Μια ακόμη για την Καλημέρα.

: ...γωνία KARKAR.PNG (9.34 KiB) Προβλήθηκε 428 φορές

Έχουν ήδη βρεθεί $SA=6\sqrt{7}..SE=4\sqrt{7}$ ενώ AE=14

.

Τότε $cos\widehat{ASE}=\dfrac{SA^{2}+SE^{2}-AE^{2}}{2SA\cdot SE}=..=\dfrac{1}{2}=cos 60^{0}$ άρα $\theta =30^{0}$ .(Λίγο πιο σύντομα $SB=3\sqrt{21}$ και $cos\theta =..=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ )
Φιλικά Γιώργος.

Μία ακόμη γωνία

Μία ακόμη γωνία

Re: Μία ακόμη γωνία

Re: Μία ακόμη γωνία

Re: Μία ακόμη γωνία

Re: Μία ακόμη γωνία

Re: Μία ακόμη γωνία

Re: Μία ακόμη γωνία

Μέλη σε σύνδεση