Τόξα ημικυκλίου.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (7.01 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές

Στο ημικύκλιο του παραπάνω σχήματος, τα τόξα TE, BD

είναι ίσα, το

κέντρο του

και το

σημείο επαφής. Υπολογίστε τα μέτρα των εν λόγω τόξων.

Xriiiiistos · #2

$\widehat{COB}=\widehat{TOA}=x$ και $OT\perp TA$ οπότε τα τρίγωνα TOA,OBC

είναι ομοια. Έστω

η ακτίνα του κύκλου οπότε BO=TO=r

οπό την ομοιότητα έχουμε $\frac{BO}{OA}=\frac{OC}{TO}<=>\frac{r^{2}}{OA}=OC(i)$

$cos(\widehat{CAO})=\frac{OC}{AO}<=>cos(30^{\circ})=\frac{OC}{OA}$ χαρίς την (i)

γίνεται $\frac{1}{2}=\frac{r^{2}}{OA^{2}}<=>OA=\sqrt{2}r$

$cos(x)=\frac{TO}{OA}=\frac{r}{\sqrt{2}r}=\frac{\sqrt{2}}{2}<=>x=45^{\circ}$ to οποίο είναι και η ζητούμενη λύση

STOPJOHN · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 15, 2018 2:13 pm
1.png

Στο ημικύκλιο του παραπάνω σχήματος, τα τόξα είναι ίσα, το κέντρο του

και το σημείο επαφής. Υπολογίστε τα μέτρα των εν λόγω τόξων.

Εστω ότι $TE=\breve{a}=BD,\hat{TOE}=\hat{\phi }=\hat{BOD},\hat{EOD}=60^{0},\hat{EOB}=60-\phi ,\hat{TOB}=60^{0}$
Συνεπώς το τρίγωνο OTB

είναι ισόπλευρο και το τετράπλευρο ATOC

είναι εγράψιμο ,αρα $\hat{OAC}=\hat{OTC}=30^{0},$
και η

είναι μεσοκάθετος στη

οπότε $OC=CB=\dfrac{R\sqrt{2}}{2},\hat{BOC}=45^{0}$
Αρα τα τόξα TE,BD

είναι $45^{0}$ to καθένα

Γιάννης
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλους

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 15, 2018 2:13 pm
1.png

Στο ημικύκλιο του παραπάνω σχήματος, τα τόξα είναι ίσα, το κέντρο του

και το σημείο επαφής. Υπολογίστε τα μέτρα των εν λόγω τόξων.

Χρόνια Πολλά!

: Τόξα ημικυκλίου.png (16.54 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές

$\displaystyle C\widehat OE = {60^0} = B\widehat OT,$ άρα το BOT

είναι ισόπλευρο. Αλλά, το OCAT

είναι εγγράψιμο, οπότε $\displaystyle O\widehat TC = {30^0},$

δηλαδή η

είναι μεσοκάθετη του OB,

το

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και $\boxed{\theta=45^0}$

Με πρόλαβε ο Γιάννης. Το αφήνω.

#5

: Τόξα ημικυκλίου.png (30.96 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές

Αν η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

κόψει την ευθεία

στο

, τότε τα ορθογώνια τρίγωνα $TOA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BOZ$ είναι ίσα αφού $OT = OB = R\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _1}} = \,\widehat {{\theta _2}}$ .

Συνεπώς θα έχουν και τις υποτείνουσες ίσες δηλαδή OA = OZ

και αφού σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία $60^\circ$ το τρίγωνο AOZ

είναι ισόπλευρο .

Έτσι η

είναι μεσοκάθετος στο $OZ \Rightarrow BO = BZ \Rightarrow \boxed{\,\widehat {{\theta _1}} = \,45^\circ = \widehat {{\theta _2}}}$

Τόξα ημικυκλίου.

Τόξα ημικυκλίου.

Re: Τόξα ημικυκλίου.

Re: Τόξα ημικυκλίου.

Re: Τόξα ημικυκλίου.

Re: Τόξα ημικυκλίου.

Μέλη σε σύνδεση