Ισότητα γωνιών και εφαπτομένη

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9906
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισότητα γωνιών και εφαπτομένη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Αύγ 09, 2018 11:51 am

Ισότητα γωνιών  13.png
Ισότητα γωνιών 13.png (8.71 KiB) Προβλήθηκε 173 φορές
Προεκτείνουμε την μήκους a πλευρά DC τετραγώνου ABCD , κατά τμήμα CP=2a .

Εντοπίστε σημείο S της πλευράς DC , ώστε αν ST \perp AP να είναι : \widehat{DSA}=\widehat{PST}

και υπολογίστε την : \tan\widehat{AST} . Ως το βράδυ διατίθεται μόνο για μαθητές .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5913
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισότητα γωνιών και εφαπτομένη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Αύγ 09, 2018 11:51 pm

Ισότητα γωνιών κι εφαπτομένη.png
Ισότητα γωνιών κι εφαπτομένη.png (21.81 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο STEC προκύπτει ότι \widehat {AEB} = \widehat \omega με συνέπεια :

\vartriangle AEB = \vartriangle ASD \Rightarrow \boxed{DS = BE = \dfrac{a}{3}} και \boxed{\tan \omega  = \dfrac{1}{3}} .

\boxed{\tan \theta  = \tan (180^\circ  - 2\omega ) =  - \dfrac{{2\tan \omega }}{{1 - {{\tan }^2}\omega }} = \dfrac{3}{4}}

Παρατήρηση,

Αν δεν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του διπλάσιου μπορούμε να δείξουμε ότι \vartriangle AST \to (5k,4k,3k)\,\,,\,\,k > 0 (υπολογίζοντας τα SA,ST)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7097
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισότητα γωνιών και εφαπτομένη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Αύγ 10, 2018 8:46 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Αύγ 09, 2018 11:51 am
Ισότητα γωνιών 13.pngΠροεκτείνουμε την μήκους a πλευρά DC τετραγώνου ABCD , κατά τμήμα CP=2a .

Εντοπίστε σημείο S της πλευράς DC , ώστε αν ST \perp AP να είναι : \widehat{DSA}=\widehat{PST}

και υπολογίστε την : \tan\widehat{AST} . Ως το βράδυ διατίθεται μόνο για μαθητές .
Το πρώτο ερώτημα όπως και ο Νίκος.
Ισότητα γωνιών και εφαπτομένη.png
Ισότητα γωνιών και εφαπτομένη.png (9.92 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές
Με Π. Θ βρίσκω AP=a\sqrt{10} και από την ομοιότητα των τριγώνων PST, PAD είναι \displaystyle \frac{{ST}}{a} = \frac{{PS}}{{PA}} \Leftrightarrow ST = \frac{{8a}}{{3\sqrt {10} }}

Αλλά, \displaystyle AT = AP - TP = AP - 3ST \Leftrightarrow AT = \frac{{2a}}{{\sqrt {10} }}. Άρα, \displaystyle \tan \theta  = \frac{{AT}}{{ST}} \Leftrightarrow \boxed{tan \theta=\frac{3}{4}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1444
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισότητα γωνιών και εφαπτομένη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Αύγ 10, 2018 11:36 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Αύγ 09, 2018 11:51 am
Ισότητα γωνιών 13.pngΠροεκτείνουμε την μήκους a πλευρά DC τετραγώνου ABCD , κατά τμήμα CP=2a .

Εντοπίστε σημείο S της πλευράς DC , ώστε αν ST \perp AP να είναι : \widehat{DSA}=\widehat{PST}

και υπολογίστε την : \tan\widehat{AST} . Ως το βράδυ διατίθεται μόνο για μαθητές .

Έστω \displaystyle Qσυμμετρικό του \displaystyle A ως προς \displaystyle CD

Το \displaystyle S προσδιορίζεται ως η τομή της κάθετης από το \displaystyle Q στην \displaystyle AP με την \displaystyle CD

Επειδή \displaystyle S ορθόκεντρο του τριγώνου \displaystyle PQA θα είναι \displaystyle \angle QPT = \theta  = 2\phi  \Rightarrow \tan \theta  = \frac{{2\tan \phi }}{{1 - {{\tan }^2}\phi }}

Αλλά \displaystyle \tan \phi  = \frac{{QD}}{{DP}} = \frac{1}{3} .Άρα \displaystyle \boxed{\tan \theta  = \frac{3}{4}}
ιγκε.png
ιγκε.png (14.53 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης