Ίσες γωνίες και καλή πρόοδο

#1

: Γ.Πρόοδος.png (11.8 KiB) Προβλήθηκε 710 φορές

Στο τρίγωνο του σχήματος να δείξετε ότι οι πλευρές a, b, c

είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

#2

Μία, εκτός φακέλου, λύση (εύκολα, αλλά όχι δόκιμα, γίνεται εντός φακέλου):

Αυτό το σημείο Βrocard έχει τριγραμμικές συντεταγμένες

$\dfrac{c}{b}: \dfrac{a}{c}: \dfrac{b}{a}$

Λόγω της διχοτόμου η πρώτη ισούται με την τρίτη και το συμπέρασμα έπεται.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 02, 2018 5:59 pm
Γ.Πρόοδος.png
Στο τρίγωνο του σχήματος να δείξετε ότι οι πλευρές είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

Είναι, $\displaystyle {C_1} + \theta =C \Rightarrow \angle ADC = \pi - C$ και $\displaystyle \angle BDC = \pi - B$

Έστω $\displaystyle R$ η ακτίνα του περίκυκλου του $\displaystyle \vartriangle ABC$

Στο $\displaystyle \vartriangle ADC \Rightarrow \frac{{DC}}{{\sin \theta }} = \frac{b}{{\sin \left( {\pi - C} \right)}} = \frac{b}{{\sin C}} = \frac{b}{c} \cdot 2R$

Στο $\displaystyle \vartriangle CDB \Rightarrow \frac{{DB}}{{\sin \theta }} = \frac{a}{{\sin \left( {\pi - B} \right)}} = \frac{a}{{\sin B}} = \frac{a}{b} \cdot 2R$

Επειδή $\displaystyle DB = DC$ έχουμε $\displaystyle \frac{b}{c} \cdot 2R = \frac{a}{b} \cdot 2R \Rightarrow \boxed{{b^2} = ac}$

: πρόοδος.png (9.06 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 02, 2018 5:59 pm
Γ.Πρόοδος.png
Στο τρίγωνο του σχήματος να δείξετε ότι οι πλευρές είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

: ισες γωνίες και καλή πρόοδο.png (40.6 KiB) Προβλήθηκε 647 φορές

Στον κύκλο (A,D,B)

η

είναι εφαπτομένη , ενώ η

τον τέμνει . ακόμα στο

.

Επειδή $\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,$ ( από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABED

) θα είναι αναγκαστικά και $\widehat {{\phi _1}} = \widehat {{\phi _2}}\,$ με άμεση συνέπεια:

$\vartriangle ABD = \vartriangle ECD\,\,(\,\Gamma - \Pi - \Gamma )\,\,\, \Rightarrow EC = AB = c$ .

Επειδή $C{A^2} = CE \cdot CB \Rightarrow C{A^2} = AB \cdot CB$

S.E.Louridas · #5

Έστω ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο ABD

τέμνει την

στο

. Τότε τα τρίγωνα ABD, DTC

είναι ίσα, οπότε TC=c.

Επειδή η

είναι εφαπτομένη του παίρνουμε: ${b^2} = ac.$

S.E.Louridas · #6

11.17 μ.μ.
Ρίχτηκε ταυτόχρονα την ώρα αυτή η ίδια ακριβώς λύση από μένα και τον αδελφό Νίκο. Αυτό με τιμά ιδιαίτερα για αυτό επιτρέψτε μου να την αφήσω.

(*) skripta manen.

#7

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 03, 2018 12:17 am

Στον κύκλο η είναι εφαπτομένη , ενώ η τον τέμνει . ακόμα στο .

Επειδή $\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,$ ( από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ) θα είναι αναγκαστικά και $\widehat {{\phi _1}} = \widehat {{\phi _2}}\,$ με άμεση συνέπεια:

$\vartriangle ABD = \vartriangle ECD\,\,(\,\Gamma - \Pi - \Gamma )\,\,\, \Rightarrow EC = AB = c$ .

Επειδή $C{A^2} = CE \cdot CB \Rightarrow C{A^2} = AB \cdot CB$

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 03, 2018 12:17 am
Έστω ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο τέμνει την στο . Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε Επειδή η είναι εφαπτομένη του παίρνουμε: ${b^2} = ac.$

Αυτή ακριβώς τη λύση έδωσα κι εγώ (george_54) εδώ

Ίσες γωνίες και καλή πρόοδο

Ίσες γωνίες και καλή πρόοδο

Re: Ίσες γωνίες και καλή πρόοδο

Re: Ίσες γωνίες και καλή πρόοδο

Re: Ίσες γωνίες και καλή πρόοδο

Re: Ίσες γωνίες και καλή πρόοδο

Re: Ίσες γωνίες και καλή πρόοδο

Re: Ίσες γωνίες και καλή πρόοδο

Μέλη σε σύνδεση