Σελίδα 1 από 1

Ακτίνες κύκλων

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 27, 2018 2:24 pm
από george visvikis
Με αφορμή αυτήν
Ακτίνες κύκλων.png
Ακτίνες κύκλων.png (18.33 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές
Έστω AB=a μία χορδή ενός κύκλου (O, R) και ένα σημείο της S ώστε SB=d. Γράφω τους

κύκλους (K, r), (L,\rho), r<\rho που εφάπτονται στην AB στο σημείο της S και εσωτερικά στον

κύκλο (O). Να υπολογίσετε τις ακτίνες r, \rho συναρτήσει των a,d, R. (Εφαρμογή: R=20, a=32, d=8)

Re: Ακτίνες κύκλων

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 27, 2018 8:06 pm
από Σταμ. Γλάρος
george visvikis έγραψε:
Παρ Ιούλ 27, 2018 2:24 pm
Με αφορμή αυτήν Ακτίνες κύκλων.png
Έστω AB=a μία χορδή ενός κύκλου (O, R) και ένα σημείο της S ώστε SB=d. Γράφω τους

κύκλους (K, r), (L,\rho), r<\rho που εφάπτονται στην AB στο σημείο της S και εσωτερικά στον

κύκλο (O). Να υπολογίσετε τις ακτίνες r, \rho συναρτήσει των a,d, R. (Εφαρμογή: R=20, a=32, d=8)
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Ακτίνες κύκλων.png
Ακτίνες κύκλων.png (62.25 KiB) Προβλήθηκε 326 φορές
Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο MOB έχουμε:OM=\sqrt{R^2-\dfrac{a^2}{4}}
Επίσης από Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο OEL έχουμε:
OE^2+EL^2 = OL^2 \Leftrightarrow \left ( \dfrac{a}{2}-d \right )^2+ \left ( \rho -\sqrt{R^2-\dfrac{a^2}{4}} \right )^2 =(R-\rho )^2.
Μετά πράξεις έχουμε:
\rho = \dfrac{d(a-d)}{2\left ( R-\sqrt{R^2-\dfrac{a^2}{4}} \right )}.

Τέλος από Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο OKE έχουμε:
OE^2+EK^2 = OK^2 \Leftrightarrow \left ( \dfrac{a}{2}-d \right )^2+ \left ( r +\sqrt{R^2-\dfrac{a^2}{4}} \right )^2 =(R- r )^2.
Μετά πράξεις έχουμε:
 r = \dfrac{d(a-d)}{2\left ( R+\sqrt{R^2-\dfrac{a^2}{4}} \right )}.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Re: Ακτίνες κύκλων

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 27, 2018 8:19 pm
από KARKAR
Ο κύκλος  των  κύκλων.png
Ο κύκλος των κύκλων.png (18.73 KiB) Προβλήθηκε 321 φορές
Αφού είναι γνωστή η χορδή AB=a , είναι γνωστό και το απόστημά της :m=\sqrt{R^2-\dfrac{a^2}{4}} ,
καθώς και το τμήμα : n=ON=MS=\dfrac{a}{2}-d .
Τώρα με Π.Θ. στο OKN παίρνω : n^2+(m+r)^2=(R-r)^2 \Leftrightarrow r=\dfrac{R^2-OS^2}{2(R+m)} .
Όμοια στο OLN , βρίσκω : \rho=\dfrac{R^2-OS^2}{2(R-m)} . Στην εφαρμογή : r=3 , \rho=12