Ίσες γωνίες 1
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Ίσες γωνίες 1
Έστω σημείο του τμήματος ώστε Να δείξετε ότι
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ίσες γωνίες 1
Λόγω του ότι ως παραπληρώματα ίσων γωνιών, αρκεί (1).
Έστω πως η τέμνει την στο . Ξέρουμε πως οι και συντρέχουν στο σημείο , έστω , άρα το τετράπλευρο είναι πλήρες τετράπλευρο, δηλαδή οι διαγώνιες του τέμνονται αρμονικά. Με άλλα λόγια η τετράδα είναι αρμονική, άρα αφού , από γνωστό λήμμα έχουμε πως η διχοτομεί την και άρα προκύπτει η (1).
Έστω πως η τέμνει την στο . Ξέρουμε πως οι και συντρέχουν στο σημείο , έστω , άρα το τετράπλευρο είναι πλήρες τετράπλευρο, δηλαδή οι διαγώνιες του τέμνονται αρμονικά. Με άλλα λόγια η τετράδα είναι αρμονική, άρα αφού , από γνωστό λήμμα έχουμε πως η διχοτομεί την και άρα προκύπτει η (1).
Houston, we have a problem!
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ίσες γωνίες 1
Έστω , τα ίχνη των καθέτων από τα σημεία , προς στις , αντίστοιχα. Παρατηρούμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα , είναι όμοια μεταξύ τους. Επίσης όμοια μεταξύ τους είναι και τα , . Απο τις παραπάνω ομοιότητες έχουμεgeorge visvikis έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 23, 2018 10:31 amΊσες γωνίες.1.png
Ο έγκυκλος τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα.
Έστω σημείο του τμήματος ώστε Να δείξετε ότι
πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε
και εφόσον τα τρίγωνα , είναι όμοια, δίνοντας την ζητούμνη ισότητα γωνιών.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ίσες γωνίες 1
Ένα επιπλέον ερώτημα...
Μπορείτε να γενικεύσετε;
Αν η κάθετη από το στην την τέμνει στο να δείξετε ότι το και τα μέσα των είναι συνευθειακά.Μπορείτε να γενικεύσετε;
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ίσες γωνίες 1
Μια λύση "λίγο" εκτός φακέλου :george visvikis έγραψε: ↑Τρί Ιούλ 24, 2018 8:15 amΈνα επιπλέον ερώτημα... Ίσες γωνίες.1β.png
Αν η κάθετη από το στην την τέμνει στο να δείξετε ότι το και τα μέσα των είναι συνευθειακά.
Δεν θα χρησιμοποιήσω το πρώτο ερώτημα... Θα αποδείξουμε πως τα σημεία είναι συνευθειακά.
Παρατηρούμε πως το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο. Άρα η διχοτομείται από την . Με άλλα λόγια αν το μέσο του , τότε τα είναι συνευθειακά.
Αρκεί να αποδειχθεί λοιπόν ότι τα είναι συνευθειακά.
Ξέρουμε πως οι τέμνονται στο , το σημείο του τριγώνου ABC. Επομένως έχουμε το πλήρες τετράπλευρο .
Συνεπώς η ευθεία είναι η ευθεία αυτού του πλήρους τετραπλεύρου. Επομένως αυτή η ευθεία διέρχεται από από το μέσο του
Αρκεί δηλαδή να αποδειχτεί πως τα σημεία είναι συνευθειακά.
Στο τρίγωνο τα και είναι μέσα, άρα έχουμε πως .
Επομένως αρκεί να αποδειχθεί πως .
Έστω ακόμα το μέσο του και το συμμετρικό του ως προς το .
Ξέρουμε πως το είναι το σημείο του , άρα προκύπτει από το θεώρημα (θα πω μετά κάποια πράγματα), πως τα σημεία είναι συνευθειακά.
Ακόμη αφού και μέσα στο , έχουμε πως , άρα .
Αφού , έχουμε πως τα τρίγωνα και είναι όμοια. Άρα και τα τρίγωνα που προκύπτουν από τις διαμέσους τους είναι όμοια, δηλαδή τα τρίγωνα και είναι όμοια, άρα , άρα προκύπτει η παραλληλία και τέλος.
----------------------
Θεώρημα (έτσι το έχω ακούσει, αν και στο διαδίκτυο δεν υπάρχουν πολλά για αυτό):
Έστω τρίγωνο και το ύψος, το οποίο έχει μέσο . Έστω το σημείο και το μέσο του . Τότε τα σημεία είναι συνευθειακά!! Επιτέλους το χρησιμοποίησα αυτό το θεώρημα σε μία άσκηση !
Υ.Γ Θα έχει ενδιαφέρον να δούμε μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος. Έχω δει απόδειξη με μιγαδικούς, αλλά δεν έχω δει μια συνθετική λύση (χωρίς "αιρετικά" εργαλεία )
Edit: Προστέθηκε το σχήμα.
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Τρί Ιούλ 24, 2018 6:10 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Houston, we have a problem!
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Ίσες γωνίες 1
'Εχουμε και λέμε:george visvikis έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 23, 2018 10:31 amΊσες γωνίες.1.png Ο έγκυκλος τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα.
Έστω σημείο του τμήματος ώστε Να δείξετε ότι
οπότε αυτόματα παίρνουμε το ζητούμενο.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ίσες γωνίες 1
Έστω Αν η τέμνει τη συμμετροδιάμεσο στο θα δείξω ότι είναι το σημείοΔιονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Τρί Ιούλ 24, 2018 3:07 pm----------------------
Θεώρημα (έτσι το έχω ακούσει, αν και στο διαδίκτυο δεν υπάρχουν πολλά για αυτό):
Έστω τρίγωνο και το ύψος, το οποίο έχει μέσο . Έστω το σημείο και το μέσο του . Τότε τα σημεία είναι συνευθειακά!! Επιτέλους το χρησιμοποίησα αυτό το θεώρημα σε μία άσκηση !
Υ.Γ Θα έχει ενδιαφέρον να δούμε μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος. Έχω δει απόδειξη με μιγαδικούς, αλλά δεν έχω δει μια συνθετική λύση (χωρίς "αιρετικά" εργαλεία )
Lemoine του τριγώνου, δηλαδή ότι: Θεώρημα Μενελάου στο με διατέμνουσα
ο Θεώρημα διαμέσων στο
Αντικαθιστώντας τις στην προκύπτει το ζητούμενο
Ανάλογα εργαζόμαστε αν (Η περίπτωση είναι προφανής).
ΥΓ. Το θεώρημα το γνώριζα, την ονομασία όμως (θεώρημα Schlomich) πρώτη φορά την ακούω.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ίσες γωνίες 1
Το είδα πρόσφατα εδώ, αλλά δεν ξέρω κατά πόσο έγκυρο είναι...george visvikis έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 25, 2018 9:20 am
ΥΓ. Το θεώρημα το γνώριζα, την ονομασία όμως (θεώρημα Schlomich) πρώτη φορά την ακούω.
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 20 επισκέπτες