Έλλειψη

KARKAR · #1

: Έλλειψη.png (23.96 KiB) Προβλήθηκε 812 φορές

Οι κορυφές

και

του ορθογωνίου τριγώνου ABS

είναι σταθερές , ενώ η κορυφή

κινείται επί της ευθείας y=-4

. Η διάμεσος

και το ύψος

τέμνονται στο

.

Βρείτε την καρτεσιανή έκφραση του γεωμετρικού τόπου του σημείου

. Διερεύνηση !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 13, 2018 8:35 am
Έλλειψη.pngΟι κορυφές και του ορθογωνίου τριγώνου είναι σταθερές , ενώ η κορυφή

κινείται επί της ευθείας . Η διάμεσος και το ύψος τέμνονται στο .

Βρείτε την καρτεσιανή έκφραση του γεωμετρικού τόπου του σημείου . Διερεύνηση !

Έστω

: Έλλειψη..png (18.99 KiB) Προβλήθηκε 802 φορές

Πρώτα βρίσκω τις εξισώσεις των ευθειών AM, AD,

$\boxed{AM:y = - \frac{{16}}{a}x + 4}$ και $\boxed{AD:y = \frac{a}{8}x - 4}$

και στη συνέχεια το σημείο $\boxed{T\left( {\frac{{64a}}{{{a^2} + 128}},\frac{{4({a^2} - 128)}}{{{a^2} + 128}}} \right)}$ Τέλος με τη γνωστή διαδικασία προσδιορίζεται η

εξίσωση του γεωμετρικού τόπου $\boxed{ \frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1}$ που είναι έλλειψη. Από την έλλειψη αυτή εξαιρούνται τα σημεία

όπου

και

όπου δεν ορίζεται τρίγωνο.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 13, 2018 8:35 am
Έλλειψη.pngΟι κορυφές και του ορθογωνίου τριγώνου είναι σταθερές , ενώ η κορυφή

κινείται επί της ευθείας . Η διάμεσος και το ύψος τέμνονται στο .

Βρείτε την καρτεσιανή έκφραση του γεωμετρικού τόπου του σημείου . Διερεύνηση !

Παρόμοια λύση .

: Ένας γεωμετρικός τόπος έλλειψη_KARKAR_13_7_18.png (20.32 KiB) Προβλήθηκε 780 φορές

Έστω $S(2s, - 4)\,\,\,s \ne 0$ , άρα M(s,4)

. επειδή $\theta = \omega$ , $\boxed{\tan \theta = \tan \omega = \frac{s}{4}}$ και

άρα $AD \to \boxed{y + 4 = \dfrac{{sx}}{4}\,\,(1)}$ . Επειδή $\overrightarrow {BM} = (s, - 8)$ με συντελεστή διεύθυνσης

$\lambda = \dfrac{{ - 8}}{x}$ , θα είναι $BM \to y - 4 = \dfrac{{ - 8x}}{s} \Rightarrow \boxed{s = \dfrac{{ - 8x}}{{y - 4}}\,\,(2)}$ με $y \ne 4$ που ισχύει πάντα .

Κάθε σημείο T(x,y)

του τόπου θα επαληθεύει τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ μεταξύ των οποίων

Με απαλοιφή της παραμέτρου $s \ne 0$ έχω :

$y + 4 = \dfrac{1}{4}\left( { - \dfrac{{8x}}{{y - 4}}} \right)x \Leftrightarrow (y + 4)(y - 4) = - 2{x^2}$ ή τελικά $\boxed{\dfrac{{{x^2}}}{8} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1}$

Η διερεύνηση σαν του Γιώργου .

mixtzo · #4

: Elleipsis_mtz.jpg (17.2 KiB) Προβλήθηκε 732 φορές

Το ότι ο εν λόγω τόπος είναι η έλλειψη που αναφέρθηκε παραπάνω ισχύει γενικότερα. Για την ακρίβεια είναι η έλλειψη που έχει κύριο άξονα την σταθερή κάθετη

και εκκεντρότητα $\epsilon=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Πράγματι, από την ομοιότητα των τριγώνων $\triangleleft ACM$ και $\triangleleft ECM$ προκύπτει $\frac{EF}{CE}=\frac{AM}{AC}$ , ενώ από την ομοιότητα των τριγώνων $\triangleleft ACB$ και $\triangleleft EFA$ προκύπτει $\frac{EF}{AE}=\frac{AC}{AB}$ . Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη προκύπτει ότι $\frac{EF^2}{CE\cdot AE}=\frac{1}{2}=1-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2$ .

Το τελευταίο αποδείχνει τον παραπάνω ισχυρισμό (σελίδα 94, https://archive.org/stream/geometricalconic00smitrich).

#5

mixtzo έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 15, 2018 9:14 pm
Elleipsis_mtz.jpgΤο ότι ο εν λόγω τόπος είναι η έλλειψη που αναφέρθηκε παραπάνω ισχύει γενικότερα. Για την ακρίβεια είναι η έλλειψη που έχει κύριο άξονα την σταθερή κάθετη και εκκεντρότητα $\epsilon=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Πράγματι, από την ομοιότητα των τριγώνων $\triangleleft ACM$ και $\triangleleft ECM$ προκύπτει $\frac{EF}{CE}=\frac{AM}{AC}$ , ενώ από την ομοιότητα των τριγώνων $\triangleleft ACB$ και $\triangleleft EFA$ προκύπτει $\frac{EF}{AE}=\frac{AC}{AB}$ . Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη προκύπτει ότι $\frac{EF^2}{CE\cdot AE}=\frac{1}{2}=1-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2$ .

Το τελευταίο αποδείχνει τον παραπάνω ισχυρισμό (σελίδα 94, https://archive.org/stream/geometricalconic00smitrich).

Εξαιρετική η παρατήρηση, ομοίως και η παραπομπή. Υπάρχει και το αντίστροφο κάπου;;

Έλλειψη

Έλλειψη

Re: Έλλειψη

Re: Έλλειψη

Re: Έλλειψη

Re: Έλλειψη

Μέλη σε σύνδεση