Το "κόλπο"

KARKAR · #1

: Το _κόλπο_.png (13.14 KiB) Προβλήθηκε 1107 φορές

Υπολογίστε το μήκος του τμήματος

. Επιβραβεύεται κυρίως η "πονηριά"

( με την καλή έννοια ! ) και λιγότερο η συντομία της λύσης

nikkru · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 30, 2018 10:57 am
Το _κόλπο_.pngΥπολογίστε το μήκος του τμήματος . Επιβραβεύεται κυρίως η "πονηριά"

( με την καλή έννοια ! ) και λιγότερο η συντομία της λύσης

$\boxed{ KN=2,5}$ παρακάτω δίνω την πλήρη λύση.

: To κόλπο.png (9.93 KiB) Προβλήθηκε 1100 φορές

Ιστοσελίδα · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 30, 2018 10:57 am
Υπολογίστε το μήκος του τμήματος . Επιβραβεύεται κυρίως η "πονηριά"

( με την καλή έννοια ! ) και λιγότερο η συντομία της λύσης

: shape.png (23.95 KiB) Προβλήθηκε 1045 φορές

Παίρνω

και

. Τότε το

είναι παραλληλόγραμμο και έστω $DNT \bot EC$

Από τον τύπο του Ήρωνα έχουμε (ABC) = 27

, συνεπώς

Από Μενέλαο στο $\triangleleft MEC$ , με διατέμνουσα την DNT

, παίρνουμε k = ET = 8

Έτσι, από Πυθαγόρειο, $DE = 4x = 10 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}$

nikkru · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 30, 2018 10:57 am
Το _κόλπο_.pngΥπολογίστε το μήκος του τμήματος . Επιβραβεύεται κυρίως η "πονηριά"

( με την καλή έννοια ! ) και λιγότερο η συντομία της λύσης

.
Έστω

το συμμετρικό του

ως προς το

.

Τότε το

είναι βαρύκεντρο του τριγώνου CMT

(αφού

) με συνέπεια η διάμεσος

να διέρχεται από το

.

Με διαδοχικές εφαρμογές του 1ου θ.διαμέσων στα τρίγωνα ABC,CMT

βρίσκουμε ότι $CM=\sqrt{73}, CT=\sqrt{109}, TN=7,5$

οπότε $\boxed{ KN=2,5 }$ .

: To κόλπο.png (10.46 KiB) Προβλήθηκε 1010 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 30, 2018 10:57 am
Το _κόλπο_.pngΥπολογίστε το μήκος του τμήματος . Επιβραβεύεται κυρίως η "πονηριά"

( με την καλή έννοια ! ) και λιγότερο η συντομία της λύσης

Είναι, $\displaystyle AL//MK$ και $\displaystyle NL//MK \Rightarrow A,N,L$ συνευθειακά

Αν $\displaystyle NL = x$ ,τότε $\displaystyle MK = 2x \Rightarrow AL = 4x$ κι αν $\displaystyle AP//NK$ ,εύκολα $\displaystyle AP = 4y,BP = 6$

Με stewart στο $\displaystyle \vartriangle ACP$ παίρνουμε $\displaystyle AP = 4y = 10 \Rightarrow \boxed{y = \frac{5}{2}}$

: το κόλπο.png (15.72 KiB) Προβλήθηκε 996 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλό μήνα! Χαιρετώ τους φίλους !

: Κόλπο .. KARKAR.PNG (7.74 KiB) Προβλήθηκε 991 φορές

Παίρνω από αναρτήσεις πριν ( με την καλή έννοια της ..

.. αντιγραφής ) $\left ( BAC \right )=27$ και $NC^{2}=\dfrac{73}{4}$
Είναι $\left ( BAC \right )=6\left ( KNC \right )$ άρα $\left ( KNC \right )=\dfrac{9}{2}$ οπότε ύψος NI=3/2

.

Με το Π.Θ στα τρίγωνα NIC

και

προκύπτουν $IC=4\Rightarrow IK=2$ και τελικά KN=5/2

.
Φιλικά Γιώργος.

#7

Καλό Μήνα!

: colpo grosso.png (11.18 KiB) Προβλήθηκε 976 φορές

Με νόμο συνημιτόνων στο ABC

βρίσκω $\displaystyle \cos B = \frac{1}{{\sqrt {10} }}.$ Έστω

το μέσο της BC.

Είναι $\displaystyle KP = \frac{3}{2},NP = \frac{{\sqrt {10} }}{2}$

Με νόμο και πάλι συνημιτόνων στο NKP

παίρνω $\boxed{NK=\frac{5}{2}}$

Ιστοσελίδα · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 30, 2018 10:57 am
Υπολογίστε το μήκος του τμήματος . Επιβραβεύεται κυρίως η "πονηριά"

( με την καλή έννοια ! ) και λιγότερο η συντομία της λύσης

Καλημέρα και καλό μήνα!
Βελτιώνω την αρχική μου λύση...χωρίς λόγια...

: shape2.png (20.75 KiB) Προβλήθηκε 971 φορές

nikkru · #9

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 30, 2018 10:57 am
Το _κόλπο_.pngΥπολογίστε το μήκος του τμήματος . Επιβραβεύεται κυρίως η "πονηριά"

( με την καλή έννοια ! ) και λιγότερο η συντομία της λύσης

Άλλη μια λύση με χρήση νόμου συνημιτόνων στα τρίγωνα CMB

και

( με ελάχιστη "πονηριά" ) :

$\frac{CM^2+CB^2-MB^2}{2CB \cdot CM}=\frac{CN^2+CK^2-KN^2}{2CN \cdot CK}\Rightarrow . . . \Rightarrow NK^2=\frac{25}{4}\Rightarrow NK=\frac{5}{2}$

#10

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 30, 2018 10:57 am
Το _κόλπο_.pngΥπολογίστε το μήκος του τμήματος . Επιβραβεύεται κυρίως η "πονηριά"

( με την καλή έννοια ! ) και λιγότερο η συντομία της λύσης

: Το μεγάλο κόλπο.png (26.11 KiB) Προβλήθηκε 935 φορές

Αφού διαπιστώσουμε απλά ότι το ύψος AO = 6

επιλέγουμε το σύστημα συντεταγμένων με αρχή το

και οριζόντιο άξονα την

.

Αβίαστα χωρίς μολύβι και χαρτί προκύπτουν οι συντεταγμέμες των σημείων του σχήματος .

$\boxed{\overrightarrow {KN} = \left( {2,\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow KN = \frac{5}{2}}$ .

Γιώργος Μήτσιος · #11

Χαιρετώ και πάλι την διευρυμένη παρέα! Μια ακόμη με χρήση του

που ο Θανάσης ''ξέχασε'' (;) να σβήσει..

: Κόλπο...PNG (8.64 KiB) Προβλήθηκε 920 φορές

Όπως είδαμε A,N,L

συνευθειακά.
Αν

μέσον του

τότε

και με τον Ν.Σ στο τρίγωνο BEM

παίρνουμε

(

)

Από τα ίσα τρίγωνα MEN, LNC

προκύπτει

μέσον του

άρα και

Φιλικά Γιώργος.

KARKAR · #12

Ποιο ήταν τελικά το "κόλπο" ; Το μεγάλο τέτοιο ήταν να μπούμε στη διαδικασία εύρεσης ποικιλίας

λύσεων , άρα πέτυχε . Η άσκηση προέκυψε όταν ο φιλότιμος κος KARKAR πειραματιζόταν πάνω

σε ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων , οπότε βλέποντας τις συντεταγμένες των K,N

αμέσως "χτύπησε καμπανάκι" . Επομένως το αρχικά προτεινόμενο "κόλπο" ήταν αυτό του Doloros ...

Το "κόλπο"

Το "κόλπο"

Re: Το "κόλπο"

Re: Το "κόλπο"

Re: Το "κόλπο"

Re: Το "κόλπο"

Re: Το "κόλπο"

Re: Το "κόλπο"

Re: Το "κόλπο"

Re: Το "κόλπο"

Re: Το "κόλπο"

Re: Το "κόλπο"

Re: Το "κόλπο"

Μέλη σε σύνδεση